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Docente: Eva

Resumen

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Q: ¿Cómo aplicar el teorema de los valores intermedios?

A diferencia del teorema de Bolzano, en el teorema de los valores intermedios los valores del intervalo corresponden al de las imágenes, es decir, al valor de Y. Por tanto, debes calcular el valor de X y después, comprobar que las condiciones del teorema se cumplen.

Q: ¿Qué es el teorema de los valores intermedios?

Si f es una función real y continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces tomará todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

Teorema de Darboux

Definición

Si $f$ es una función real y continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces tomará todos los valores intermedios entre $f(a)$ y $f(b):$

SI $f(a)<f(b)$ y $K$ es tal que $f(a)<K<f(b)$ , entonces existirá al menos un número $c \in (a,b)$ , tal que $f(c)=K$ .
Si $f(a)>f(b)$ y $K$ es tal que $f(b)<K<f(a)$ , entonces existirá al menos un número $c \in (a,b)$ , tal que $f(c)=K.$

Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Comprobación del teorema de los valores intermedios o teorema de Darboux.

El teorema de Darboux es una generalización del teorema de Bolzano, puesto que, si $f(a)$ y $f(b)$ son de signos contrarios, el valor $0$ está comprendido entre $f(a)$ y $f(b).$

Procedimiento

1.	Calcula el valor que toma $x.$
2.	Comprueba que se cumplen las condiciones del teorema de Darboux.

Ejemplo

Sea la función $f(x)=2x+1$ . ¿Podrías afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo $[1,5]?$

En primer lugar, debes calcular el valor de $x$ para el valor de las imágenes, en este caso, $1$ y $5$ :

$f(x)=1 ; 2x+1=1; x=0$

$f(x)=5; 2x+1=5;x=2$

De modo que: $a=0$ y $b=2.$ 

Por último, comprueba que las condiciones del teorema se cumplen:

$f(x)$ es continua en $[0,2]$

$K$ es un número comprendido entre $[1,5]$

Existe al menos un $c \in (0,2)$ , tal que $f(c)=K$

Por tanto, se puede afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo $\underline{[1,5]}$ .

Aprende con lo básico

Duración:

Límites de funciones y tipos de continuidad

Continuidad y derivabilidad de una función

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