Continuidad de una función: Teorema de Darboux
Teorema de Darboux
Definición
Si f es una función real y continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces tomará todos los valores intermedios entre f(a) y f(b):
- SI f(a)<f(b) y K es tal que f(a)<K<f(b), entonces existirá al menos un número c∈(a,b), tal que f(c)=K.
- Si f(a)>f(b) y K es tal que f(b)<K<f(a), entonces existirá al menos un número c∈(a,b), tal que f(c)=K.
Comprobación del teorema de los valores intermedios o teorema de Darboux.
El teorema de Darboux es una generalización del teorema de Bolzano, puesto que, si f(a) y f(b) son de signos contrarios, el valor 0 está comprendido entre f(a) y f(b).
Procedimiento
1. | Calcula el valor que toma x. |
2. | Comprueba que se cumplen las condiciones del teorema de Darboux.
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Ejemplo
Sea la función f(x)=2x+1. ¿Podrías afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo [1,5]?
En primer lugar, debes calcular el valor de x para el valor de las imágenes, en este caso, 1 y 5:
f(x)=1;2x+1=1;x=0
f(x)=5;2x+1=5;x=2
De modo que: a=0 y b=2.
Por último, comprueba que las condiciones del teorema se cumplen:
f(x) es continua en [0,2]
K es un número comprendido entre [1,5]
Existe al menos un c∈(0,2), tal que f(c)=K
Por tanto, se puede afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo [1,5].