Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Teorema de Darboux

Definición

Si $f$ es una función real y continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces tomará todos los valores intermedios entre $f(a)$ y $f(b):$

SI $f(a)<f(b)$ y $K$ es tal que $f(a)<K<f(b)$ , entonces existirá al menos un número $c \in (a,b)$ , tal que $f(c)=K$ .
Si $f(a)>f(b)$ y $K$ es tal que $f(b)<K<f(a)$ , entonces existirá al menos un número $c \in (a,b)$ , tal que $f(c)=K.$

Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Comprobación del teorema de los valores intermedios o teorema de Darboux.

El teorema de Darboux es una generalización del teorema de Bolzano, puesto que, si $f(a)$ y $f(b)$ son de signos contrarios, el valor $0$ está comprendido entre $f(a)$ y $f(b).$

Procedimiento

1.	Calcula el valor que toma $x.$
2.	Comprueba que se cumplen las condiciones del teorema de Darboux.

Ejemplo

Sea la función $f(x)=2x+1$ . ¿Podrías afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo $[1,5]?$

En primer lugar, debes calcular el valor de $x$ para el valor de las imágenes, en este caso, $1$ y $5$ :

$f(x)=1 ; 2x+1=1; x=0$

$f(x)=5; 2x+1=5;x=2$

De modo que: $a=0$ y $b=2.$ 

Por último, comprueba que las condiciones del teorema se cumplen:

$f(x)$ es continua en $[0,2]$

$K$ es un número comprendido entre $[1,5]$

Existe al menos un $c \in (0,2)$ , tal que $f(c)=K$

Por tanto, se puede afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo $\underline{[1,5]}$ .