Resumen del capítulo

Matemáticas

Matemáticas

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Tu progreso en la lección
 
 
0%

Resumen

Descargar

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Teorema de Darboux

​​Definición

Si ff es una función real y continua en el intervalo cerrado [a,b][a,b], entonces tomará todos los valores intermedios entre f(a)f(a) y f(b):f(b):

  • SI f(a)<f(b)f(a)<f(b) y KK es tal que f(a)<K<f(b)f(a)<K<f(b), entonces existirá al menos un número c(a,b)c \in (a,b), tal que f(c)=Kf(c)=K.
  • Si f(a)>f(b)f(a)>f(b)  y KK  es tal que f(b)<K<f(a)f(b)<K<f(a), entonces existirá al menos un número c(a,b)c \in (a,b), tal que f(c)=K.f(c)=K.
Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Darboux


Comprobación del teorema de los valores intermedios o teorema de Darboux. 

El teorema de Darboux es una generalización del teorema de Bolzano, puesto que, si f(a)f(a)  y f(b)f(b) son de signos contrarios, el valor 00 está comprendido entre f(a)f(a) y f(b).f(b).


Procedimiento

1.
Calcula el valor que toma x.x.​​
2.
Comprueba que se cumplen las condiciones del teorema de Darboux. 

Ejemplo

Sea la función f(x)=2x+1f(x)=2x+1. ¿Podrías afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo [1,5]?[1,5]?


En primer lugar, debes calcular el valor de xx para el valor de las imágenes, en este caso, 11 y 55:

f(x)=1;2x+1=1;x=0f(x)=1 ; 2x+1=1; x=0

f(x)=5;2x+1=5;x=2f(x)=5; 2x+1=5;x=2

De modo que: a=0a=0 y b=2.b=2.


Por último, comprueba que las condiciones del teorema se cumplen:

f(x)f(x) es continua en [0,2][0,2]

KK es un número comprendido entre [1,5][1,5]

Existe al menos un c(0,2)c \in (0,2), tal que f(c)=Kf(c)=K

​​​​

Por tanto, se puede afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo [1,5]\underline{[1,5]}.

Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Darboux

​​

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Monotonía y puntos extremos de una función

Intervalos y entornos de números reales

Límites de funciones y tipos de continuidad

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

  • Pregunta: ¿Cómo aplicar el teorema de los valores intermedios?

    Respuesta: A diferencia del teorema de Bolzano, en el teorema de los valores intermedios los valores del intervalo corresponden al de las imágenes, es decir, al valor de Y. Por tanto, debes calcular el valor de X y después, comprobar que las condiciones del teorema se cumplen.

  • Pregunta: ¿Qué es el teorema de los valores intermedios?

    Respuesta: Si f es una función real y continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces tomará todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

Teoría

Ejercicios

La protección de tus datos

Tanto nosotros, así como algunos de nuestros proveedores de servicios, utilizamos cookies y tecnologías similares para prestar nuestros servicios, personalizar el contenido y registrar el comportamiento del usuario. Al hacer clic en «Aceptar cookies» o «Solo las cookies necesarias», accedes a lo anterior (lee más acerca de ello en nuestra Política de privacidad). Política de privacidad