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Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

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Docente: Eva

Resumen

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Teorema de Darboux

​​Definición

Si ff es una función real y continua en el intervalo cerrado [a,b][a,b], entonces tomará todos los valores intermedios entre f(a)f(a) y f(b):f(b):

  • SI f(a)<f(b)f(a)<f(b) y KK es tal que f(a)<K<f(b)f(a)<K<f(b), entonces existirá al menos un número c(a,b)c \in (a,b), tal que f(c)=Kf(c)=K.
  • Si f(a)>f(b)f(a)>f(b)  y KK  es tal que f(b)<K<f(a)f(b)<K<f(a), entonces existirá al menos un número c(a,b)c \in (a,b), tal que f(c)=K.f(c)=K.
Matemáticas; Funciones; 2. Bachillerato; Continuidad de una función: Teorema de Darboux


Comprobación del teorema de los valores intermedios o teorema de Darboux. 

El teorema de Darboux es una generalización del teorema de Bolzano, puesto que, si f(a)f(a)  y f(b)f(b) son de signos contrarios, el valor 00 está comprendido entre f(a)f(a) y f(b).f(b).


Procedimiento

1.
Calcula el valor que toma x.x.​​
2.
Comprueba que se cumplen las condiciones del teorema de Darboux. 

Ejemplo

Sea la función f(x)=2x+1f(x)=2x+1. ¿Podrías afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo [1,5]?[1,5]?


En primer lugar, debes calcular el valor de xx para el valor de las imágenes, en este caso, 11 y 55:

f(x)=1;2x+1=1;x=0f(x)=1 ; 2x+1=1; x=0

f(x)=5;2x+1=5;x=2f(x)=5; 2x+1=5;x=2

De modo que: a=0a=0 y b=2.b=2.


Por último, comprueba que las condiciones del teorema se cumplen:

f(x)f(x) es continua en [0,2][0,2]

KK es un número comprendido entre [1,5][1,5]

Existe al menos un c(0,2)c \in (0,2), tal que f(c)=Kf(c)=K

​​​​

Por tanto, se puede afirmar que la función toma todos los valores intermedios del intervalo [1,5]\underline{[1,5]}.

​​

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Preguntas frecuentes

¿Cómo aplicar el teorema de los valores intermedios?

¿Qué es el teorema de los valores intermedios?

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