Funciones polinómicas: Análisis y representación

Conocer las funciones polinómicas 

Definición

Una función polinómica es continua en todo $$\R$$ y no tienen asíntotas de ningún tipo. Estas funciones toman la forma:

​$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0;a_n\not=0$$​​

Si el exponente de mayor grado es par, la función tiende a infinito si el coeficiente es positivo y a menos infinito si es negativo.

​$$\begin{cases} \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty &\text{si } a_n \gt0 \\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty &\text{si } a_n\lt0\end{cases}$$​​

Si el exponente es impar, tiende a más/menos infinito si el coeficiente es positivo y a menos/más infinito si es negativo.

​$$\begin{cases} \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty &\text{si } a_n \gt0 \\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\mp\infty &\text{si } a_n\lt0\end{cases}$$​​

La parábola

La función polinómica de segundo grado $$f(x)=ax^2+bx+c$$​ traza una curva llamada parábola. Tiene un eje de simetría vertical, con el punto de corte en el vértice. Ese punto es $$f'(x_v)=0$$​ o $$x_v=\cfrac{-b}{2a}$$​.

Si el coeficiente de la derivada segunda es positivo, la parábola es cóncava hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo.

Ejemplo

Traza la parábola de la función $$f(x)=x^2$$​ y $$g(x)=x^2-4x+4$$.

El vértice de $$f(x_v)=\cfrac{0}{2}$$​ y el de $$g(x_v)=\cfrac{-(-4)}{2}=2$$.

Como $$a\gt0$$ en ambos casos, la parábola tiende a infinito a ambos lados del vértice.