Límites indeterminados: Indeterminaciones

Límites indeterminados

Un límite indeterminado consiste en un límite en el que al sustituir la variable independiente por el valor del punto en el que se estudia llegas a una expresión en la que no puedes determinar de manera inmediata si tiende a un número real o a un infinito.

Funciones equivalentes para el cálculo de límites

Una forma de facilitar el cálculo de un límite es descomponer la función en otras funciones de las que conoces sus límites.

Sea $b ,c \in \mathbb{R}$ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ y $\lim\limits_{x \to a} g(x) = c$ mientras que $a \in \mathbb{R}$ ó $\pm \infty$ .

procedimiento

1.	$\lim\limits_{x \to a}(f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x \to a}f(x) \pm\lim\limits_{x \to a}g(x) = b \pm c$
2.	$\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} = \cfrac{b}{c}$
3.	$\lim\limits_{x\to a}(f(x) \times g(x)) = b \times c$
4.	$\lim\limits_{x \to a}(f(x))^{g(x)}=b^c$

Indeterminaciones

Si al hacer el límite obtienes una expresión que no es real ni puedes saber si tiende a $0$ o a otro número real , se dice que se trata de una indeterminación.

indeterminaciones más comunes

Infinito entre infinito	$\cfrac{\infty}{\infty}$
Cero entre cero	$\cfrac00$
Infinito menos infinito	$\infty - \infty$
Cero por infinito	$0 \times \infty$
Cero elevado a cero	$0^0$
Uno elevado a infinito	$1^\infty$
Infinito elevado a cero	$\infty^0$

Procedimiento para resolver indeterminaciones

Para resolver un límite indeterminado tienes que transformar la función en funciones equivalentes de las que conoces el valor del límite.

Ejemplo

Calcula el límite $\lim\limits_{x \to \infty } \cfrac{x^3 +8}{10-x^2}$ 

Primero, sustituyes la variable independiente por el valor al que tiende.

$\lim\limits_{x \to \infty } \cfrac{x^3 +8}{10-x^2} = \cfrac{\infty}{-\infty}$

Recuerda: Cuando tienes este tipo de indeterminación es recomendable dividir entre la variable independiente de menor grado.

Después, como se trata de una indeterminación, tienes que transformar las expresiones en otras equivalentes de las que sí conoces sus límites.

$\lim\limits_{x \to \infty } \cfrac{x^3 +8}{10-x^2} = \lim\limits_{x \to \infty } \cfrac{\cfrac{x^3}{x^2}+\cfrac{8}{x^2}}{\cfrac{10}{x^2}-\cfrac{x}{x^2}}= \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{x}{-1} = - \infty$

Con esto, la solución será:

$\underline{\lim\limits_{x \to \infty } \cfrac{x^3 +8}{10-x^2} = -\infty }$ 