Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D

Rectas en el plano

La posición relativa de las rectas en el plano pueden ser:

• Secantes: si las rectas se cortan en un punto.
  
• Paralelas: si las rectas nunca se cortan.
• Coincidentes: si las rectas tienen infinitos puntos comunes.

Métodos para conocer la posición relativa de dos rectas

En función de la ecuación de la recta que se proporcione, será mejor seguir unos pasos u otros:

Comparación de los vectores directores o normales

Dos rectas con vectores directores $$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}'$$ y vectores normales $$\overrightarrow{n},\overrightarrow{n}'$$:

• Son secantes si sus vectores directores o normales no son paralelos:

 $$\overrightarrow{u}\neq \lambda \overrightarrow{u}'$$  y  $$\overrightarrow{n}\neq \lambda \overrightarrow{n}'$$​​

• Son paralelas: si sus vectores directores o normales son paralelos: 

$$\overrightarrow{u}= \lambda \overrightarrow{u}'$$ y $$\overrightarrow{n}= \lambda \overrightarrow{n}'$$​​

Comparación de las pendientes de las rectas

Dos rectas cuyas pendientes son $$m$$ y $$m'$$: 

• ​Son secantes si sus pendientes no son iguales: $$m\neq m'$$​​
  
• Son paralelas: si sus pendientes son iguales: $$m = m'$$
  

Recuerda que: la diferencia entre paralelas o coincidentes está en si tienen o no puntos en común.

Estudiar el sistema formado por las ecuaciones de las rectas

Se comparan las ecuaciones generales mediante un sistema de ecuaciones:

​

Ejemplo

Estudia la posición relativa de las rectas $$r: \begin{cases}x=2+3t\\y=3+6t\end{cases}$$ y $$s: 8x+2y-27=0$$

Vamos a utilizar el criterio de la comparación de vectores directores. Al estar la recta $$r$$ en paramétricas, simplemente observando los valores que multiplican al parámetro obtenemos que el vector director es:

​$$\overrightarrow u=(3,6)$$

​​

Para calcular el vector director de la recta $$s$$, debemos recordar que una recta que tiene por ecuación general $$Ax+ By+C=0$$, tiene como vector director $$\overrightarrow v=(-B,A)$$. Así, obtenemos que le vector director de $$s$$ es 

$$\overrightarrow v=(-2,8)$$

Por último, si comparamos ambos vectores vemos que:

  $$\overrightarrow u\neq \lambda\overrightarrow v\implies \underline{\text{Las rectas son secantes}}$$​​

Rectas en el espacio

Para determinar la posición de dos rectas en el espacio $$r$$ y $$s$$  se tienen que construir las siguientes matrices:

​$$M=\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\\u_3&v_3\end{pmatrix}\qquad M´=\begin{pmatrix}u_1&v_1&b_1-a_1\\u_2&v_2&b_2-a_2\\u_3&v_3&b_3-a_3\end{pmatrix}$$

​donde $$\overrightarrow u(u_1,u_2,u_3)$$ es el vector director de $$r$$, $$\overrightarrow v(v_1,v_2,v_3)$$ es el vector director de $$s$$ y $$A(a_1,a_2,a_3)$$ y $$B(b_1,b_2,b_3)$$ son puntos de $$r$$ y $$s$$, respectivamente.

Una vez construidas las dos matrices, se sigue el siguiente criterio

​

Ejemplo

Estudia la posición relativa de las rectas $$r:(x,y,z)=(2,0,1)+\lambda(4,-1,1)$$ y $$s:(x,y,z)=(1,-3,1)+\lambda(1,2,0)$$.

En primer lugar construimos las matrices $$M$$ y $$M´$$ utilizando los datos $$\overrightarrow u=(4,-1,1)$$, $$\overrightarrow v=(1,2,0)$$, $$A=(2,0,1)$$ y $$B=(1,-3,1)$$:

​$$M=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\\1&0\end{pmatrix}\qquad M´=\begin{pmatrix}4&1&-1\\-1&2&-3\\1&0&0\end{pmatrix}$$​​

Por último, estudiamos los rangos de ambas matrices y obtenemos el resultado final:

​$$\begin{vmatrix}4&1\\-1&2\end{vmatrix}=9\neq 0\implies rg(M)=2\\\quad \\\begin{vmatrix}4&1&-1\\-1&2&-3\\1&0&0\end{vmatrix}=-1\neq0\implies rg(M´)=3\\\quad \\rg(M)=2,\ rg(M´)=3\implies \underline{\text{Las rectas se cruzan}}$$​​