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Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

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Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza
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Cálculo de áreas y volúmenes con vectores

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Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita
Otras ecuaciones del plano
Posición relativa entre recta y plano en el espacio
Posición relativa entre planos en el espacio

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Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D
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Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D
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Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

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Vectores: Definición, elementos y tipos
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Bases vectoriales y coordenadas en 3D
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Componentes de un vector, módulo y argumento
Dependencia y combinación lineal en 3D
Operaciones con vectores: Producto escalar
Operaciones con vectores: Producto vectorial
Operaciones con vectores: Producto mixto

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Sucesiones de números reales
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Integrales definidas: Propiedades
Cálculo de integrales definidas: Regla de Barrow
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Función integral: Teorema fundamental del cálculo:
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Otras aplicaciones de las integrales: Longitudes y volúmenes

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Integración de funciones racionales
Integración de funciones por cambio de variable
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Tasa de variación: Media e instantánea
Continuidad y derivabilidad de una función
Cálculo de derivadas: Reglas de derivación
Cálculo de derivadas: Regla de la cadena
Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión
Derivada de la función inversa
Derivada de la función potencial
Derivada de la función exponencial
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Derivada de las funciones trigonométricas
Derivadas y monotonía de una función
Estudio de derivadas: Teorema de Rolle
Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio
Aplicación de las derivadas: Problemas de optimización

Representación de funciones

Funciones polinómicas: Análisis y representación
Funciones racionales: Análisis y representación
Funciones irracionales: Análisis y representación
Función valor absoluto: Análisis y representación
Función exponencial: Análisis y representación
Función logarítmica: Análisis y representación
Funciones trigonométricas: Análisis y representación
Funciones trigonométricas inversas: Análisis y representación
Construcción de funciones: Traslación y dilatación

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Límites: Definición y tipos
Propiedades y cálculo de límites
Límites indeterminados: Indeterminaciones
Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Funciones

Funciones: Definición y tipos
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
Límites de funciones y tipos de continuidad
Simetría de las funciones: Par e Impar
Puntos de corte con los ejes y signo de una función
Monotonía y puntos extremos de una función
Curvatura y puntos de inflexión de una función
Tendencia y periodicidad de una función
Continuidad de una función: Teorema de Bolzano
Continuidad de una función: Teorema de Darboux
Continuidad de una función: Teorema de Weierstrass

Determinantes

Introducción a los determinantes
Propiedades de los determinantes
Cálculo de determinantes
Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa
Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Matrices

Matrices: Definición y tipos
Cálculo matricial: Suma y producto de matrices
Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo
Método de Gauss: Obtención de una matriz triangular
Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades
Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas
Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial
Regla de Cramer: Resolución de sistemas compatibles determinados
Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas
Sistemas homogéneos: Características y propiedades
Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Vídeo Explicativo

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Docente: Antonio

Resumen

Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Ecuación del plano

Para hallar la ecuación del plano solo necesitas un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho punto.

Matemáticas; Planos; 2. Bachillerato; Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita


Ecuación vectorial del plano

Procedimiento

1.

Debes tener un plano π\piπ que contiene un punto A(a1,a2,a3)A(a_1,a_2,a_3)A(a1​,a2​,a3​) y dos vectores linealmente independientes v→=(v1,v2,v3)\overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3)v=(v1​,v2​,v3​) y u→=(u1,u2,u3)\overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3)u=(u1​,u2​,u3​) .​

2.

Para que un punto P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z) pertenezca al plano π\piπ, el vector AP→\overrightarrow{AP}AP tiene que poder escribirse como combinación lineal de v→\overrightarrow{v} v y u→→AP→=λu→+μv→\overrightarrow{u} \to \overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}u→AP=λu+μv. ​​

3.

Siendo λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R}λ,μ∈R las incógnitas que debes averiguar, ya que dependiendo de su valor tendrás un plano u otro.

4.

Sustituye AP→=P→−A→\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}AP=P−A  y obtendrás la ecuación vectorial del plano.

​p→=a→+λu→+μv→\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a} +\lambda \overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}p​=a+λu+μv​​


Ecuación paramétrica del plano

La ecuación paramétrica del plano se obtiene de la ecuación vectorial al sustituir los vectores p→,u→,v→\overrightarrow{p},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}p​,u,v y a→\overrightarrow{a}a por sus coordenadas y al  igualar coordenada a coordenada.


{x=a1+λu1+μv1y=a2+λu2+μv2z=a3+λu3+μv3 \left\{\begin{array}{ l }x = a_1+\lambda u_1+\mu v_1 \\y = a_2+\lambda u_2+\mu v_2\\z= a_3+\lambda u_3+\mu v_3\end{array}\right.⎩⎨⎧​x=a1​+λu1​+μv1​y=a2​+λu2​+μv2​z=a3​+λu3​+μv3​​​​


Ecuación implícita o general del plano

Si a la ecuación paramétrica la expresas como una matriz y calculas su determinante obtendrás un valor nulo ya que la tercera columna será linealmente dependiente de las dos primeras.


​∣u1v1x−a1u2v2y−a2u3v3z−a3∣=0\begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-a_1\\u_2 & v_2 & y-a_2\\u_3 & v_3 & z-a_3\end{vmatrix} =0​u1​u2​u3​​v1​v2​v3​​x−a1​y−a2​z−a3​​​=0​​


Al desarrollar el determinante obtendrás la ecuación general del plano, que tendrá la siguiente forma:


Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0


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Nociones básicas

Ecuación de la recta: Cálculo y posición relativa
Ecuación de la recta: Cálculo y posición relativa

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Objetivos

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    Punto, recta y segmento en el plano 2D
    Punto, recta y segmento en el plano 2D

    Resumen

    Objetivos

      Resumen
      Punto, recta y plano en el espacio 3D
      Punto, recta y plano en el espacio 3D

      Resumen

      Objetivos

        Resumen

        Preguntas frecuentes

        ¿Cómo se obtiene la ecuación del plano?

        La ecuación del plano se obtiene a partir de un punto y dos vesctores linealmente independientes perteneciantes al plano.

        ¿Para qué sirve la ecuación del plano?

        La ecuación del plano sirve para representar matemáticamente un plano y para comprobar si un punto pertenece o no a dicho plano

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