Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Ecuación del plano

Para hallar la ecuación del plano solo necesitas un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho punto.

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Ecuación vectorial del plano

Procedimiento

1.	Debes tener un plano $\pi$ que contiene un punto $A(a_1,a_2,a_3)$ y dos vectores linealmente independientes $\overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3)$ y $\overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3)$ .
2.	Para que un punto $P(x,y,z)$ pertenezca al plano $\pi$ , el vector $\overrightarrow{AP}$ tiene que poder escribirse como combinación lineal de $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{u} \to \overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}$ .
3.	Siendo $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ las incógnitas que debes averiguar, ya que dependiendo de su valor tendrás un plano u otro.
4.	Sustituye $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}$ y obtendrás la ecuación vectorial del plano. $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a} +\lambda \overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}$

Ecuación paramétrica del plano

La ecuación paramétrica del plano se obtiene de la ecuación vectorial al sustituir los vectores $\overrightarrow{p},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{a}$ por sus coordenadas y al igualar coordenada a coordenada.

$\left\{\begin{array}{ l }x = a_1+\lambda u_1+\mu v_1 \\y = a_2+\lambda u_2+\mu v_2\\z= a_3+\lambda u_3+\mu v_3\end{array}\right.$

Ecuación implícita o general del plano

Si a la ecuación paramétrica la expresas como una matriz y calculas su determinante obtendrás un valor nulo ya que la tercera columna será linealmente dependiente de las dos primeras.

$\begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-a_1\\u_2 & v_2 & y-a_2\\u_3 & v_3 & z-a_3\end{vmatrix} =0$

Al desarrollar el determinante obtendrás la ecuación general del plano, que tendrá la siguiente forma:

$Ax+By+Cz+D=0$