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Resumen del capítulo

Matemáticas

Sistemas de ecuaciones

Matrices

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Sucesiones

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Combinatoria

Distribución estadística

Matemáticas

Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

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Resumen

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Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Ecuación del plano

Para hallar la ecuación del plano solo necesitas un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho punto.

Matemáticas; Planos; 2. Bachillerato; Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita


Ecuación vectorial del plano

Procedimiento

1.

Debes tener un plano π\pi que contiene un punto A(a1,a2,a3)A(a_1,a_2,a_3) y dos vectores linealmente independientes v→=(v1,v2,v3)\overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3) y u→=(u1,u2,u3)\overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3) .​

2.

Para que un punto P(x,y,z)P(x,y,z) pertenezca al plano π\pi, el vector AP→\overrightarrow{AP} tiene que poder escribirse como combinación lineal de v→\overrightarrow{v}  y u→→AP→=λu→+μv→\overrightarrow{u} \to \overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}. ​​

3.

Siendo λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R} las incógnitas que debes averiguar, ya que dependiendo de su valor tendrás un plano u otro.

4.

Sustituye AP→=P→−A→\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}  y obtendrás la ecuación vectorial del plano.

​p→=a→+λu→+μv→\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a} +\lambda \overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}​​


Ecuación paramétrica del plano

La ecuación paramétrica del plano se obtiene de la ecuación vectorial al sustituir los vectores p→,u→,v→\overrightarrow{p},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} y a→\overrightarrow{a} por sus coordenadas y al  igualar coordenada a coordenada.


{x=a1+λu1+μv1y=a2+λu2+μv2z=a3+λu3+μv3 \left\{\begin{array}{ l }x = a_1+\lambda u_1+\mu v_1 \\y = a_2+\lambda u_2+\mu v_2\\z= a_3+\lambda u_3+\mu v_3\end{array}\right.​​


Ecuación implícita o general del plano

Si a la ecuación paramétrica la expresas como una matriz y calculas su determinante obtendrás un valor nulo ya que la tercera columna será linealmente dependiente de las dos primeras.


​