Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Ecuación del plano

Para hallar la ecuación del plano solo necesitas un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho punto.

Ecuación vectorial del plano

Procedimiento

Ecuación paramétrica del plano

La ecuación paramétrica del plano se obtiene de la ecuación vectorial al sustituir los vectores $$\overrightarrow{p},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$$ y $$\overrightarrow{a}$$ por sus coordenadas y al  igualar coordenada a coordenada.

$$\left\{\begin{array}{ l }x = a_1+\lambda u_1+\mu v_1 \\y = a_2+\lambda u_2+\mu v_2\\z= a_3+\lambda u_3+\mu v_3\end{array}\right.$$​​

Ecuación implícita o general del plano

Si a la ecuación paramétrica la expresas como una matriz y calculas su determinante obtendrás un valor nulo ya que la tercera columna será linealmente dependiente de las dos primeras.

​$$\begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-a_1\\u_2 & v_2 & y-a_2\\u_3 & v_3 & z-a_3\end{vmatrix} =0$$​​

Al desarrollar el determinante obtendrás la ecuación general del plano, que tendrá la siguiente forma:

$$Ax+By+Cz+D=0$$