Continuidad de una función: Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass establece que si una función es continua en un intervalo cerrado $$[a,b]$$, entonces la función alcanza sus máximos y mínimos absolutos en dicho intervalo.

Ejemplo

Determina si la función $$\it f(x)=x^2+3$$ presenta máximos y/o mínimos en el intervalo $$\it [0,4]$$.

En primer lugar, debes determinar el dominio de tu función. Puesto que se trata de una función cuadrática tendremos $$D(f)=\R$$​

Por tanto, se pude confirmar que la función será continua en el intervalo $$[0,4]$$ y se verifica el teorema de Weierstrass.

Dado que, la función $$f(x)=x^2+3$$ es estrictamente creciente, en consecuencia, el mínimo del intervalo estará en $$x=0$$ y el máximo en $$x=4.$$

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$$f(0)=0^2+3=3$$

$$f(4)=4^2+3=19$$