Tasa de variación: Media e instantánea

Tasa de variación media

Dada una función $y=f(x)$ la tasa de variación media de $f(x)$ en el intervalo $\lbrack a,b\rbrack$ se define como el cociente

$TVM \thinspace \thinspace f(x)\lbrack a,b\rbrack=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Este valor da una idea de lo rápido que cambia el valor de una función en un intervalo dado.

Recuerda que: Geométricamente, la tasa de variación media representa la pendiente de la recta que pasa por $\left (a,f(a)\right)$ y $\left (b,f(b)\right)$

Matemáticas; Derivadas; 1. Bachillerato; Tasa de variación: Media e instantánea

Ejemplo

Calcula la tasa de variación media de la función ${\it f(x)=x^2-x}$ en el intervalo ${ \lbrack 1,4 \rbrack}$

${TVM\thinspace \thinspace f\lbrack 1,4\rbrack=\cfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\cfrac{12-0}{3}=\underline{4}}$

Tasa de variación instantánea

Siendo $h$ la longitud del intervalo en el que se quiere analizar la variación, cuando este se hace muy pequeño, es decir $h \to 0$ , a la tasa de variación la denominamos tasa de variación instantánea, o más comúnmente derivada de una función en un punto.

Así, la derivada de una función en un punto se define como:

$f´(a)=\lim\limits_{h \to 0}{\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

Geométricamente, $f´(x_0)$ representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ en el punto $A \left (x_0,f(x_0)\right)$ ; siendo la ecuación de la recta tangente:

$y-f(x_0)=f´(x_0)(x-x_0)$

Matemáticas; Derivadas; 1. Bachillerato; Tasa de variación: Media e instantánea

Ejemplo

Calcula la derivada de la función ${\it f(x)=3x^2}$ en el punto ${\it x=2}$

 ${f´´(2)=\lim\limits_{h \to 0} \cfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{3\left (2+h \right)^2-3\cdot 2^2}{h}=}$

$\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{3\left (4+4h+h^2 \right)-12}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{3h^2-12h}{h}=\lim\limits_{h \to 0}3h+12=\underline{12}$ 