Tasa de variación: Media e instantánea

​​Tasa de variación media 

Dada una función $$y=f(x)$$ la tasa de variación media de $$f(x)$$ en el intervalo $$\lbrack a,b\rbrack$$ se define como el cociente 

​$$TVM \thinspace \thinspace f(x)\lbrack a,b\rbrack=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$​​

Este valor da una idea de lo rápido que cambia el valor de una función en un intervalo dado.

Recuerda que: Geométricamente, la tasa de variación media representa la pendiente de la recta que pasa por $$\left (a,f(a)\right)$$ y $$\left (b,f(b)\right)$$

Ejemplo

Calcula la tasa de variación media de la función $${\it f(x)=x^2-x}$$ en el intervalo $${ \lbrack 1,4 \rbrack}$$

$${TVM\thinspace \thinspace f\lbrack 1,4\rbrack=\cfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\cfrac{12-0}{3}=\underline{4}}$$

Tasa de variación instantánea

Siendo $$h$$ la longitud del intervalo en el que se quiere analizar la variación, cuando este se hace muy pequeño, es decir $$h \to 0$$​, a la tasa de variación la denominamos tasa de variación instantánea, o más comúnmente derivada de una función en un punto. 

Así, la derivada de una función en un punto se define como:

​$$f´(a)=\lim\limits_{h \to 0}{\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$​​

Geométricamente, $$f´(x_0)$$ representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $$y=f(x)$$ en el punto $$A \left (x_0,f(x_0)\right)$$; siendo la ecuación de la recta tangente:

$$y-f(x_0)=f´(x_0)(x-x_0)$$

Ejemplo 

Calcula la derivada de la función $${\it f(x)=3x^2}$$ en el punto $${\it x=2}$$

​$${f´´(2)=\lim\limits_{h \to 0} \cfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{3\left (2+h \right)^2-3\cdot 2^2}{h}=}$$

$$\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{3\left (4+4h+h^2 \right)-12}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\cfrac{3h^2-12h}{h}=\lim\limits_{h \to 0}3h+12=\underline{12}$$​​