Dada una función y=f(x) la tasa de variación media de f(x) en el intervalo [a,b] se define como el cociente
TVMf(x)[a,b]=b−af(b)−f(a)
Este valor da una idea de lo rápido que cambia el valor de una función en un intervalo dado.
Recuerda que: Geométricamente, la tasa de variación media representa la pendiente de la recta que pasa por (a,f(a)) y (b,f(b))
Ejemplo
Calcula la tasa de variación media de la función f(x)=x2−x en el intervalo [1,4]
TVMf[1,4]=4−1f(4)−f(1)=312−0=4
Tasa de variación instantánea
Siendo h la longitud del intervalo en el que se quiere analizar la variación, cuando este se hace muy pequeño, es decir h→0, a la tasa de variación la denominamos tasa de variación instantánea, o más comúnmente derivada de una función en un punto.
Así, la derivada de una función en un punto se define como:
f´(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)
Geométricamente, f´(x0) representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto A(x0,f(x0)); siendo la ecuación de la recta tangente:
y−f(x0)=f´(x0)(x−x0)
Ejemplo
Calcula la derivada de la función f(x)=3x2 en el punto x=2