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Matrices

Matrices: Definición y tipos

Matrices: Definición y tipos

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Docente: Gadea

Resumen

Matrices: Definición y tipos

Matrices

Definición

  • Una matriz es un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas
  • Se nombran con una letra mayúscula (Am,nA_{m,n}​). 
  • Cada uno de los valores que conforma una matriz se denomina elemento (aija_{ij}​) , el cuál se designa con dos subíndices (i,ji,j​). 
  • El primer subíndice (ii​) corresponde a la fila en la que se encuentra el elemento y el segundo (jj​) a la columna
  • Cada matriz tiene un numero de filas (m)(m) y de columnas (n)(n). Si ambos coinciden, se trata de una matriz de orden nn. ​



Am,n=(ai,j)(a1,1a1,2a1,3...a1,na2,1a2,2a2,3...a2,na3,1a3,2a3,3...a3,n...............am,1am,2am,3...am,n)A_{m,n}=(a_{i,j})\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ...& a_{2,n} \\a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{3,n} \\. & . &. &.&.\\. & . &. &.&.\\. & . &. &.&.\\a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & ... & a_{m,n}\end{pmatrix}


Matrices iguales

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos que ocupan una posición son iguales. 

Sea Am,n=(aij) y Bm,n=(bij) A=Baij=bij 1m 1jnSea \space A_{m,n}= (a_{ij}) \space y \space B_{m,n}= (b_{ij}) \space A=B \Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij} \space 1 \le m \space 1 \le j \le n​​


Matrices traspuestas

Una matriz Bm,n=(bı¨j)B_{m,n}=(b_{ïj})  es traspuesta de Am,n=(aij) A_{m,n}=(a_{ij}) si cualquier elemento de Bm,n=(bı¨j) B_{m,n}=(b_{ïj})  coincide con ajia_{ji}.  


Ejemplo 

A=(154326)A = \begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & \\3 & 2 & 6 \end{pmatrix}  , At=(135246)A^t = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 5 & 2 \\4 & 6 \end{pmatrix}


Tipos de matrices 

Una matriz se puede clasificar en: 

Tipo 

Dimensiones

Ejemplo

Matriz cuadrada

m=nm=n                        ​
(1532) \begin{pmatrix}1 & 5 \\3 & 2 \end{pmatrix} ​​

Matriz rectangular

mnm \ne n​​
(154326)\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 \\3 & 2 & 6 \end{pmatrix} ​​

Matriz fila 

1×n1 \times n​​
(154) \begin{pmatrix}1 & 5 & 4 \end{pmatrix} ​​

Matriz columna

m×1m \times 1​​
(135)\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 5 \end{pmatrix} ​​

Las matrices cuadradas a su vez pueden ser: 


Matriz TRIANGULAR SUPERIOR

(aaa0aa00a)\begin{pmatrix}a & a & a\\ 0& a & a\\0 & 0 & a\end{pmatrix}​​

matriz TRIAnGULAR INFERIOR 

(a00aa0aaa)\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\ a& a & 0\\a& a & a\end{pmatrix}​​

matriz DIAGONAL

(a000b000c)\begin{pmatrix}a &0 & 0\\ 0& b& 0\\0 & 0 & c\end{pmatrix}​​

MATRIZ ESCALAR

(a000a000a)\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\ 0& a & 0\\0 & 0 & a\end{pmatrix}​​

MATRIZ IDENTIDAD

(100010001)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}​​


Recuerda que: En una matriz cuadrada los elementos que tienen el índice de la fila igual al de la columna, forman la denominada diagonal principal.

En función de su simetría las matrices cuadradas pueden ser:


Simétrica

aij=aji con 1in y 1jna_{ij}=a_{ji} \space con \space 1 \le i \le n \space y \space 1 \le j\le n​​
(dabaecbcf)\begin{pmatrix}d & a & b\\a & e & c\\b& c & f\end{pmatrix}​​

Antisimétrica

aij=aji con 1in y 1jna_{ij}=-a_{ji} \space con \space 1 \le i \le n \space y \space 1 \le j\le n​​
(0aba0cbc0)\begin{pmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{pmatrix}​​


Recuerda que: En las matrices simétricas A=AtA=A^t y en las antisimétricas A=AtA=-A^t


​​​​

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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Qué tipos de simetría pueden tener las matrices cuadradas?

¿Qué tipos de matrices hay?

¿Qué es una matriz?

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