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Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

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Docente: Gadea

Resumen

Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es un método que se usa para determinar la inversa de una matriz mediante operaciones elementales por filas. 


PROCEDIMIENTO

Sea AA​ una matriz cuadrada de orden nn:​

1.
Construye una matriz n×2nn \times 2n. A la izquierda queda la matriz AA y a la derecha la matriz identidad de orden nn​​
2.
Mediante transformaciones elementales por filas, transforma el lado izquierdo (A)(A)​ en una matriz identidad
3.
Cuando obtengas la matriz identidad a la izquierda, a la derecha queda la matriz inversa de A, (A)1A , \space (A)^{-1}​​

Recuerda que: Para una matriz AA, y su inversa A1A^{-1}, siempre que se cumple la siguiente expresión AA1=IA\cdot A^{-1}=I


​​Ejemplo 

Calcula la inversa de (1324)\begin{pmatrix}1 & 3\\2 & 4\end{pmatrix} mediante el método Gauss-Jordan ​


Construye una matriz 2×42 \times 4

(13102401)\begin{pmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0 \\2 & 4 & | & 0 & 1 \\\end{pmatrix}


Anula el primer elemento de la segunda fila:

F2=2F1F2F_2=2F_1-F_2


(13100221)\begin{pmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0 \\0 & 2 & | & 2 & -1 \\\end{pmatrix}


Convierte el segundo elemento de la segunda fila en la unidad:


F2=F22F_2=\cfrac {F_2}{2}


(131001112)\begin{pmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0 \\0 & 1 & | & 1 & \cfrac {-1}{2} \\\end{pmatrix}


Anula el segundo elemento de la primera fila:


F1=F13F2F_1=F_1-3F_2 ​​


(1023201112)\begin{pmatrix}1 & 0 & | & -2 & \cfrac {3}{2} \\0 & 1 & | & 1 & \cfrac {-1}{2} \\\end{pmatrix}​​


Así, se obtiene que la matriz inversa de AA es:​


A1=(232112)A^{-1}=\begin{pmatrix}-2& \cfrac{3}{2}\\1& \cfrac{-1}{2}\end{pmatrix}​​

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Preguntas frecuentes

¿Se puede aplicar el método Gauss Jordan a cualquier matriz?

¿Para qué se usa el método Gauss Jordan?

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