Función integral: Teorema fundamental del cálculo:
Función integral
Definida f(x) continua en el intervalo [a,b], se denomina función integral a la función F(x) que representa el área sombreada de un figura formada por la gráfica de f, el eje X y la recta vertical que pasa por el punto de abscisa x.
F(x)=∫axf(t) dt
Teorema fundamental del cálculo
Si f es continua en [a,b] y F es su función integral en [a,b],
F(x)=∫axf(t) dt
Ppor lo que es derivable en [a,b] y F′(x)=f(x). Es decir, si se integra una función f y después se deriva el resultado, se obtiene la función f original.
Ejemplo
Calcula F(x)=∫0xf(t) dt con f(t)=t2 y comprueba que F′(x)=f(x).
F(x)=∫0xt2 dt=3t3]0x=3x3−303=3x3
F′(x)=x2=f(x)
Derivación bajo el signo integral
Los límites de integración de una integral definida pueden ser valores o funciones, de forma que:
g(x)=∫u(x)v(x)f(t) dt=F(v(x))−F(u(x))
Derivando ambos extremos se obtiene:
g′(x)=(∫u(x)v(x)f(t) dt)′=F′(v(x))⋅v′(x)−F′(u(x))⋅u′(x)=.
=f(v(x))⋅v′(x)−f(u(x))⋅u′(x)
Ejemplo
Calcula la derivada de la función g(x)=∫x2x3et dt.
g(x)=∫x2x3et dt=et]x2x3=ex3−ex2
g′(x)=ex3⋅3x2−ex2⋅2x
Integrales definidas por cambio de variable
Para cambiar de variable en una integral definida hay que cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable, con el teorema de sustitución en integrales definidas. Si f y g′ son continuas:
∫abf(g(x))⋅g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(t) dt
Ejemplo
Calcula por cambio de variable ∫g(1)g(2)x2⋅2x dt:
Asigna el valor a las variables:
g(x)=x2t=x2⟶dt=2x dx
Sustituye y resuelve:
∫g(1)g(2)x2⋅2x dx=∫14t dt=2t2]14=8−21=215