Límites: Definición y tipos

Introducción a los límites

Sean $a$ y $b$ dos números reales, la expresión $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ significa que siempre que $x$ tome valores próximos a $a$ , los valores correspondientes a $f(x)$ se aproximan a $b$ .

Tipos de límites

Existen varios tipos de límites:

límites laterales	Para que se cumpla que $\lim \limits_{x\to a} f(x) = b$ los valores de $a$ deben acercarse a $b$ tanto por la izquierda como por la derecha. Para que una función tenga límite en un punto es necesario y suficiente que ambos límites laterales coincidan. $\lim \limits_{x\to a^-} f(x) = \lim \limits_{x\to a^+} f(x) = b$ Recuerda que: Si los límites laterales no coinciden indican un salto de discontinuidad de la función.
límites infinitos	Si $x$ toma valores próximos a $a$ los correspondientes valores de $f(x)$ se hacen muy grandes o muy pequeños, es decir, el límite cuando $x$ tiende a $a$ es igual a infinito o a menos infinito. $\lim \limits_{x\to a} f(x)= +\infty$ ó $\lim \limits_{x\to a} f(x)= -\infty$
límites en el infinito	Si $x$ toma valores cada vez más grandes $(+\infty)$ o más pequeños $(-\infty)$ , los valores de $f(x)$ se acercan cada vez más a $b$ . $\lim \limits_{x\to +\infty} f(x)= b$ ó $\lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= b$
límites infinitos en el infinito	Si $x$ toma valores cada vez más grandes o pequeños, $f(x)$ toma valores también cada vez más grandes $(+\infty)$ o pequeños $(-\infty)$ , y a la inversa en ambos casos. $\lim \limits_{x\to +\infty} f(x)= +\infty ;\space \lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= -\infty; \space\lim \limits_{x\to +\infty} f(x)= -\infty; \space \lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= +\infty$

Gráficos con tipos de límites

Estos son los gráficos que corresponden a los distintos tipos de límite:

$\lim \limits_{x\to 0^-} f(x)= 1$	$\lim \limits_{x\to 0} f(x)= -\infty$	$\lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= 0$	$\lim \limits_{x\to +\infty} f(x)= +\infty$