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Curvatura y puntos de inflexión de una función

Curvatura y puntos de inflexión de una función

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Distribución estadística

Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza
Distribución de Bernoulli y binomial: Características
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Variaciones con y sin repetición
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Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos
Frecuencia y probabilidad de un suceso
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Teorema de Bayes: Probabilidades "a priori"

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Cálculo de áreas y volúmenes con vectores

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Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita
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Posición relativa entre recta y plano en el espacio
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Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D
Otras ecuaciones de la recta en 2D y 3D
Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D
Intersección de dos rectas en 2D y 3D
Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

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Vectores: Definición, elementos y tipos
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Componentes de un vector, módulo y argumento
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Operaciones con vectores: Producto escalar
Operaciones con vectores: Producto vectorial
Operaciones con vectores: Producto mixto

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Sucesiones de números reales
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Integrales definidas: Propiedades
Cálculo de integrales definidas: Regla de Barrow
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Integrales

Integrales indefinidas I: Definición y propiedades
Integrales indefinidas II: Inmediatas
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Integración de funciones racionales
Integración de funciones por cambio de variable
Integración de funciones trigonométricas
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Tasa de variación: Media e instantánea
Continuidad y derivabilidad de una función
Cálculo de derivadas: Reglas de derivación
Cálculo de derivadas: Regla de la cadena
Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión
Derivada de la función inversa
Derivada de la función potencial
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función logarítmica
Derivada de las funciones trigonométricas
Derivadas y monotonía de una función
Estudio de derivadas: Teorema de Rolle
Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio
Aplicación de las derivadas: Problemas de optimización

Representación de funciones

Funciones polinómicas: Análisis y representación
Funciones racionales: Análisis y representación
Funciones irracionales: Análisis y representación
Función valor absoluto: Análisis y representación
Función exponencial: Análisis y representación
Función logarítmica: Análisis y representación
Funciones trigonométricas: Análisis y representación
Funciones trigonométricas inversas: Análisis y representación
Construcción de funciones: Traslación y dilatación

Límites

Límites: Definición y tipos
Propiedades y cálculo de límites
Límites indeterminados: Indeterminaciones
Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Funciones

Funciones: Definición y tipos
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
Límites de funciones y tipos de continuidad
Simetría de las funciones: Par e Impar
Puntos de corte con los ejes y signo de una función
Monotonía y puntos extremos de una función
Curvatura y puntos de inflexión de una función
Tendencia y periodicidad de una función
Continuidad de una función: Teorema de Bolzano
Continuidad de una función: Teorema de Darboux
Continuidad de una función: Teorema de Weierstrass

Determinantes

Introducción a los determinantes
Propiedades de los determinantes
Cálculo de determinantes
Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa
Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Matrices

Matrices: Definición y tipos
Cálculo matricial: Suma y producto de matrices
Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo
Método de Gauss: Obtención de una matriz triangular
Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades
Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas
Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial
Regla de Cramer: Resolución de sistemas compatibles determinados
Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas
Sistemas homogéneos: Características y propiedades
Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

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Docente: Jorge

Resumen

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Curvatura

La curvatura de una función se define a partir de la posición relativa entre la curva y la recta tangente, de esta manera, se tienen los casos posibles:


​​CÓNCAVA
La recta tangente se encuentra por encima de la curva.
f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0  

convexA
La recta tangente se encuentra por debajo de la curva.
f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0  


Cálculo de los puntos de inflexión

Para calcular los puntos de inflexión de una función sigue los siguientes pasos:

1.
Calcula la segunda derivada de la función f′′(x)f''(x)f′′(x)​​
2.
Iguala a cero la segunda derivada


Ejemplo

Calcula el punto de inflexión y la curvatura de la función:

​f(x)=x3+3x2−3f(x)=x^3+3x^2-3f(x)=x3+3x2−3 


Derivando queda:

​f′(x)=3x2+6x ⟹ f′′(x)=6x+6f'(x)=3x^2+6x\implies f''(x) =6x+6f′(x)=3x2+6x⟹f′′(x)=6x+6


Igualando a cero:

6x+6=0 ⟹ x=−1‾ ⟹ 6x+6=0\implies \underline{x=-1}\implies 6x+6=0⟹x=−1​⟹ Punto de inflexión


Para la curvatura:

​x>−1‾ ⟹ f′′(x)>0 ⟹ \underline{x>-1}\implies f''(x)>0\implies x>−1​⟹f′′(x)>0⟹

la curva es convexa

x<−1‾ ⟹ f′′(x)<0 ⟹ \underline{x<-1}\implies f''(x)<0\implies x<−1​⟹f′′(x)<0⟹

la curva es cóncava

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Curvatura y puntos de inflexión de una función



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Nociones básicas

Curvatura y puntos de inflexión de una función
Curvatura y puntos de inflexión de una función

Resumen

Objetivos

    Resumen

    Preguntas frecuentes

    ¿Qué es el punto de inflexión de una función?

    El punto de inflexión de una función es la transición de un tipo de curvatura a otra.

    ¿Cómo calculo el punto de inflexión?

    El punto de inflexión se calcula igualando a cero la derivada segunda.

    ¿Cómo puede ser la curvatura de una función?

    La curvatura de una función puede presentar curvas cóncavas, convexas o puntos de inflexión.

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