Introducción a los determinantes

Conceptos básicos de los determinantes

Definición

El determinante es un número calculado a partir de todos los elementos de una matriz. A cada matriz cuadrada se le puede asignar un determinante. 

Se puede escribir así: 

​$$det(A) \text { o } |A|$$​​

Cálculo del determinante

Dependiendo de la dimensión de la matriz, se utiliza una fórmula diferente para calcular el determinante:

Truco: Para calcular determinantes en matrices de $$3\text x3$$, expande la matriz con las dos primeras columnas, multiplica a lo largo de la diagonal marcada y calcula los productos. 

Ejemplo

Calcula el determinante de la siguiente matriz: 

​$$\begin{vmatrix}1 & 3 & 5\\-2 & 1 & -2\\2 & 0 & -3\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=\underline{-43}$$

Elementos de las matrices

Menor complementario de una matriz

El menor complementario, $$\alpha_{ij}$$, del elemento $$a_{ij}$$​ es un determinante $$(n-1)$$ que se obtiene al eliminar la fila $$i$$ y la columna $$j$$ de una matriz cuadrada $$A$$ de orden $$n$$.

​$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\color{green}{a_{21}} & a_{22} & \color{green}{a_{23}}\\\color{green}{a_{31}} & a_{32} & \color{green}{a_{33}}\end{pmatrix}\rightarrow \alpha_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}{a_{21}} & \color{green}{a_{23}} \\\color{green}{a_{31}} & \color{green}{a_{33}}\end{vmatrix}$$

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Adjunto de un elemento

El adjunto de un elemento, $$A_{ij}$$, es el menor complementario de $$A$$​ ($$\alpha_{ij}$$) precedido del signo $$+ \text{ o }-$$ según la suma de los subíndices $$(i+j)$$ sea par o impar. 

​$$A_{ij}=(-1)^{i+j}\alpha_{ij}$$​​

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