Introducción a los determinantes Conceptos básicos de los determinantes Definición El determinante es un número calculado a partir de todos los elementos de una matriz. A cada matriz cuadrada se le puede asignar un determinante.
Se puede escribir así:
d e t ( A ) o ∣ A ∣ det(A) \text { o } |A| d e t ( A ) o ∣ A ∣
Cálculo del determinante Dependiendo de la dimensión de la matriz, se utiliza una fórmula diferente para calcular el determinante:
Dimensión Matriz Determinante
A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} A = ( a 11 a 21 a 12 a 22 )
d e t ( A ) = a 11 ⋅ a 22 − a 12 ⋅ a 21 det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} d e t ( A ) = a 11 ⋅ a 22 − a 12 ⋅ a 21
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} A = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
d e t ( A ) = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a 23 ⋅ a 32 ⋅ a 11 − a 33 ⋅ a 12 ⋅ a 21 det(A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\newline -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21} d e t ( A ) = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a 23 ⋅ a 32 ⋅ a 11 − a 33 ⋅ a 12 ⋅ a 21
Truco Para calcular determinantes en matrices de 3 x 3 3\text x3 3 x 3 , expande la matriz con las dos primeras columnas, multiplica a lo largo de la diagonal marcada y calcula los productos.
Ejemplo Calcula el determinante de la siguiente matriz:
∣ 1 3 5 − 2 1 − 2 2 0 − 3 ∣ = 1 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) + 3 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 2 + 5 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 ⋅ 5 − 0 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 1 − ( − 3 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ 3 = − 3 − 12 + 0 − 10 + 0 − 18 = − 43 ‾ \begin{vmatrix}1 & 3 & 5\\-2 & 1 & -2\\2 & 0 & -3\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=\underline{-43} 1 − 2 2 3 1 0 5 − 2 − 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) + 3 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 2 + 5 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 ⋅ 5 − 0 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 1 − ( − 3 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ 3 = − 3 − 12 + 0 − 10 + 0 − 18 = − 43
Elementos de las matrices Menor complementario de una matriz El menor complementario, α i j \alpha_{ij} α ij a i j a_{ij} a ij ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) i i i j j j A A A n n n
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) → α 12 = ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\color{green}{a_{21}} & a_{22} & \color{green}{a_{23}}\\\color{green}{a_{31}} & a_{32} & \color{green}{a_{33}}\end{pmatrix}\rightarrow \alpha_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}{a_{21}} & \color{green}{a_{23}} \\\color{green}{a_{31}} & \color{green}{a_{33}}\end{vmatrix} A = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 → α 12 = a 21 a 31 a 23 a 33
Adjunto de un elemento El adjunto de un elemento, A i j A_{ij} A ij A A A α i j \alpha_{ij} α ij + o − + \text{ o }- + o − ( i + j ) (i+j) ( i + j )
A i j = ( − 1 ) i + j α i j A_{ij}=(-1)^{i+j}\alpha_{ij} A ij = ( − 1 ) i + j α ij
