Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Cálculo del rango de una matriz

Los determinantes se pueden utilizar para calcular el rango de una matriz.

Recuerda que: El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.

Calcular el rango de una matriz utilizando determinantes

Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ :

$det(A)\neq 0\Leftrightarrow rg(A)=n$

Esto significa que si su determinante es distinto de cero, la matriz tendrá un rango de orden $n$ . No obstante, cuando esta condición no se cumple se procede de un modo distinto:

procedimiento

1.	Se descartan las filas (o columnas) en las que: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos filas (o columnas) iguales. Una fila (o columna) es proporcional a otra. Una fila (o columna) es combinación lineal de otras.
2.	El rango será $\leq 2$ si existe alguna submatriz cuadrada de orden $2$ con determinante no nulo.
3.	El rango será $\le3$ si existe alguna submatriz cuadrada de orden $3$ con determinante no nulo.
4.	El rango será $\leq4$ si existe alguna submatriz cuadrada de orden $4$ con determinante no nulo.

Ejemplo

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de los determinantes:

$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 2 \\3 & 0 & 4 & -8\end{pmatrix}$

Se calcula el determinante de una submatriz cuadrada de dimensión $2\text x 2$ y se calcula su determinante:

$X_1=\begin{vmatrix}2 & 1\\3 & 0\end{vmatrix}=-3\neq0$

Este menor de orden $2$ tiene un determinante distinto de cero con lo cual el rango de la matriz $A$ será $\underline2$ . Se puede comprobar para los otros menores. 

Cálculo de la matriz inversa

Los determinantes se pueden usar para calcular la inversa de una matriz. Una matriz $A$ tendrá inversa si:

Es cuadrada.
Su determinante es distinto de cero.

Se puede expresar:

$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)$

Recuerda que: La matriz adjunta, $adj(A)$ , es una matriz cuyos elementos son los adjuntos de la matriz $A$ .

PROCEDIMIENTO

1.	Se halla el determinante de A. Si $\|A\|=0$ no tiene matriz inversa.
2.	Se calcula la matriz traspuesta de $A$ .
3.	Se calcula la matriz adjunta de $A^t$ y se divide por $\|A\|$

Ejemplo

Calcular la inversa de la siguiente matriz:

$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Se calcula el determinante, la matriz traspuesta y el adjunto de la traspuesta:

$|A|=\begin{vmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{vmatrix}=2\rightarrow A^t=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & 5 & 1\end{pmatrix}\rightarrow adj(A^t)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-13 & 2 & -10\\2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Finalmente, se divide por el determinante:

$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)=\underline{\cfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-13 & 2 & -10\\2 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$