Inicio

Matemáticas

Determinantes

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Seleccionar lección

Distribución estadística

Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Distribución de Bernoulli y binomial: Características

Distribuciones continuas: Características

Distribución normal: Características

Tipificación de la variable normal

Aproximación de la binomial por la normal

Combinatoria

Permutaciones con y sin repetición

Variaciones con y sin repetición

Combinaciones y números combinatorios

Binomio de Newton: Potencias de un binomio

Probabilidad

Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos

Frecuencia y probabilidad de un suceso

Propiedades de la probabilística de sucesos

Asignación de probabilidades en el espacio muestral

Probabilidad condicionada: Regla de la multiplicación

Dependencia e independencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

Teorema de Bayes: Probabilidades "a priori"

Áreas y volúmenes

Cálculo de áreas y volúmenes con vectores

Planos

Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétrica e implícita

Otras ecuaciones del plano

Posición relativa entre recta y plano en el espacio

Posición relativa entre planos en el espacio

Rectas

Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D

Otras ecuaciones de la recta en 2D y 3D

Posición relativa de dos rectas en 2D y 3D

Intersección de dos rectas en 2D y 3D

Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

Vectores

Vectores: Definición, elementos y tipos

Bases vectoriales y coordenadas en 2D

Bases vectoriales y coordenadas en 3D

Operaciones con vectores: Suma, resta y producto

Componentes de un vector, módulo y argumento

Dependencia y combinación lineal en 3D

Operaciones con vectores: Producto escalar

Operaciones con vectores: Producto vectorial

Operaciones con vectores: Producto mixto

Sucesiones

Sucesiones de números reales

Límites de las sucesiones

Convergencia de sucesiones

Integrales definidas

Integrales definidas: Propiedades

Cálculo de integrales definidas: Regla de Barrow

Estudio de integrales: Teorema del valor medio

Función integral: Teorema fundamental del cálculo:

Aplicaciones de las integrales: Cálculo de áreas

Otras aplicaciones de las integrales: Longitudes y volúmenes

Integrales

Integrales indefinidas I: Definición y propiedades

Integrales indefinidas II: Inmediatas

Integración por partes del producto de funciones

Integración de funciones racionales

Integración de funciones por cambio de variable

Integración de funciones trigonométricas

Integrales no elementales: Teorema de Liouvillle

Derivadas

Tasa de variación: Media e instantánea

Continuidad y derivabilidad de una función

Cálculo de derivadas: Reglas de derivación

Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Aplicaciones de la segunda derivada: Curvatura e inflexión

Derivada de la función inversa

Derivada de la función potencial

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función logarítmica

Derivada de las funciones trigonométricas

Derivadas y monotonía de una función

Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Aplicación de las derivadas: Problemas de optimización

Representación de funciones

Funciones polinómicas: Análisis y representación

Funciones racionales: Análisis y representación

Funciones irracionales: Análisis y representación

Función valor absoluto: Análisis y representación

Función exponencial: Análisis y representación

Función logarítmica: Análisis y representación

Funciones trigonométricas: Análisis y representación

Funciones trigonométricas inversas: Análisis y representación

Construcción de funciones: Traslación y dilatación

Límites

Límites: Definición y tipos

Propiedades y cálculo de límites

Límites indeterminados: Indeterminaciones

Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Funciones

Funciones: Definición y tipos

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

Límites de funciones y tipos de continuidad

Simetría de las funciones: Par e Impar

Puntos de corte con los ejes y signo de una función

Monotonía y puntos extremos de una función

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Tendencia y periodicidad de una función

Continuidad de una función: Teorema de Bolzano

Continuidad de una función: Teorema de Darboux

Continuidad de una función: Teorema de Weierstrass

Determinantes

Introducción a los determinantes

Propiedades de los determinantes

Cálculo de determinantes

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Matrices

Matrices: Definición y tipos

Cálculo matricial: Suma y producto de matrices

Rango de una matriz: Definición y cómo calcularlo

Método de Gauss: Obtención de una matriz triangular

Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

Inversa de una matriz: Método de Gauss-Jordan

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial

Regla de Cramer: Resolución de sistemas compatibles determinados

Teorema de Rouché-Frobenius: Discusión de sistemas

Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Vídeo Explicativo

Docente: Aránzazu

Resumen

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Cálculo del rango de una matriz

Los determinantes se pueden utilizar para calcular el rango de una matriz.

Recuerda que: El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.

Calcular el rango de una matriz utilizando determinantes

Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ :

$det(A)\neq 0\Leftrightarrow rg(A)=n$

Esto significa que si su determinante es distinto de cero, la matriz tendrá un rango de orden $n$ . No obstante, cuando esta condición no se cumple se procede de un modo distinto:

procedimiento

1.	Se descartan las filas (o columnas) en las que: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos filas (o columnas) iguales. Una fila (o columna) es proporcional a otra. Una fila (o columna) es combinación lineal de otras.
2.	El rango será $\leq 2$ si existe alguna submatriz cuadrada de orden $2$ con determinante no nulo.
3.	El rango será $\le3$ si existe alguna submatriz cuadrada de orden $3$ con determinante no nulo.
4.	El rango será $\leq4$ si existe alguna submatriz cuadrada de orden $4$ con determinante no nulo.

Ejemplo

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de los determinantes:

$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 2 \\3 & 0 & 4 & -8\end{pmatrix}$

Se calcula el determinante de una submatriz cuadrada de dimensión $2\text x 2$ y se calcula su determinante:

$X_1=\begin{vmatrix}2 & 1\\3 & 0\end{vmatrix}=-3\neq0$

Este menor de orden $2$ tiene un determinante distinto de cero con lo cual el rango de la matriz $A$ será $\underline2$ . Se puede comprobar para los otros menores. 

Cálculo de la matriz inversa

Los determinantes se pueden usar para calcular la inversa de una matriz. Una matriz $A$ tendrá inversa si:

Es cuadrada.
Su determinante es distinto de cero.

Se puede expresar:

$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)$

Recuerda que: La matriz adjunta, $adj(A)$ , es una matriz cuyos elementos son los adjuntos de la matriz $A$ .

PROCEDIMIENTO

1.	Se halla el determinante de A. Si $\|A\|=0$ no tiene matriz inversa.
2.	Se calcula la matriz traspuesta de $A$ .
3.	Se calcula la matriz adjunta de $A^t$ y se divide por $\|A\|$

Ejemplo

Calcular la inversa de la siguiente matriz:

$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Se calcula el determinante, la matriz traspuesta y el adjunto de la traspuesta:

$|A|=\begin{vmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{vmatrix}=2\rightarrow A^t=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & 5 & 1\end{pmatrix}\rightarrow adj(A^t)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-13 & 2 & -10\\2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Finalmente, se divide por el determinante:

$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)=\underline{\cfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-13 & 2 & -10\\2 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$

Aprende con lo básico

Duración:

Unidad 1

Propiedades de los determinantes

Unidad 2

Cálculo de determinantes

Prueba de Avance

Opcional

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Vídeos explicativos

Resumen

Ejercicios

Seleccionar lección

Distribución estadística

Combinatoria

Probabilidad

Áreas y volúmenes

Planos

Rectas

Vectores

Sucesiones

Integrales definidas

Integrales

Derivadas

Representación de funciones

Límites

Funciones

Determinantes

Matrices

Sistemas de ecuaciones

Vídeo Explicativo

Resumen

Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Cálculo del rango de una matriz

Calcular el rango de una matriz utilizando determinantes

procedimiento

Ejemplo

Cálculo de la matriz inversa

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Aprende con lo básico

Unidad 1

Propiedades de los determinantes

Unidad 2

Cálculo de determinantes

Prueba de Avance

Unidad 3