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Resumen del capítulo

Matemáticas

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Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

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Resumen

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Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Cálculo del rango de una matriz

Los determinantes se pueden utilizar para calcular el rango de una matriz. 


Recuerda que: El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.


Calcular el rango de una matriz utilizando determinantes

Si AA es una matriz cuadrada de orden nn:

 det(A)≠0⇔rg(A)=ndet(A)\neq 0\Leftrightarrow rg(A)=n


Esto significa que si su determinante es distinto de cero, la matriz tendrá un rango de orden nn. No obstante, cuando esta condición no se cumple se procede de un modo distinto:

procedimiento

1.
Se descartan las filas (o columnas) en las que:
  • Todos sus coeficientes son ceros.
  • Hay dos filas (o columnas) iguales.
  • Una fila (o columna) es proporcional a otra.
  • Una fila (o columna) es combinación lineal de otras. 
2.
El rango será ≤2\leq 2​ si existe alguna submatriz cuadrada de orden 22​ con determinante no nulo.
3.
El rango será ≤3\le3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 33​ con determinante no nulo.​
4.
El rango será ≤4\leq4 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 44 con determinante no nulo. ​


Ejemplo

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de los determinantes:

A=(21−12304−8)A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 2 \\3 & 0 & 4 & -8\end{pmatrix}


Se calcula el determinante de una submatriz cuadrada de dimensión 2x22\text x 2 y se calcula su determinante:

X1=∣2130∣=−3≠0X_1=\begin{vmatrix}2 & 1\\3 & 0\end{vmatrix}=-3\neq0

​​

Este menor de orden 22 tiene un determinante distinto de cero con lo cual el rango de la matriz AA será 2‾\underline2. Se puede comprobar para los otros menores. ​


Cálculo de la matriz inversa

Los determinantes se pueden usar para calcular la inversa de una matriz. Una matriz AA tendrá inversa si: 

  • Es cuadrada.
  • Su determinante es distinto de cero.

Se puede expresar:

​A−1=1∣A∣adj(At)A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)


Recuerda que: La matriz adjunta, adj(A)adj(A), es una matriz cuyos elementos son los adjuntos de la matriz AA. 


PROCEDIMIENTO

1.
Se halla el determinante de A. Si ∣A∣=0|A|=0 no tiene matriz inversa. ​
2.
Se calcula la matriz traspuesta de AA.​
3.
Se calcula la matriz adjunta de AtA^t y se divide por ∣A∣|A|​​


Ejemplo

Calcular la inversa de la siguiente matriz:


​A=(200315−201)A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{pmatrix}