Aplicación de determinantes: Rango y matriz inversa

Cálculo del rango de una matriz

Los determinantes se pueden utilizar para calcular el rango de una matriz. 

Recuerda que: El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.

Calcular el rango de una matriz utilizando determinantes

Si $$A$$ es una matriz cuadrada de orden $$n$$:

 $$det(A)\neq 0\Leftrightarrow rg(A)=n$$

Esto significa que si su determinante es distinto de cero, la matriz tendrá un rango de orden $$n$$. No obstante, cuando esta condición no se cumple se procede de un modo distinto:

procedimiento

Ejemplo

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de los determinantes:

$$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 2 \\3 & 0 & 4 & -8\end{pmatrix}$$

Se calcula el determinante de una submatriz cuadrada de dimensión $$2\text x 2$$ y se calcula su determinante:

$$X_1=\begin{vmatrix}2 & 1\\3 & 0\end{vmatrix}=-3\neq0$$

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Este menor de orden $$2$$ tiene un determinante distinto de cero con lo cual el rango de la matriz $$A$$ será $$\underline2$$. Se puede comprobar para los otros menores. ​

Cálculo de la matriz inversa

Los determinantes se pueden usar para calcular la inversa de una matriz. Una matriz $$A$$ tendrá inversa si: 

• Es cuadrada.
• Su determinante es distinto de cero.
  

Se puede expresar:

​$$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)$$

Recuerda que: La matriz adjunta, $$adj(A)$$, es una matriz cuyos elementos son los adjuntos de la matriz $$A$$. 

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Calcular la inversa de la siguiente matriz:

​$$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{pmatrix}$$​​

Se calcula el determinante, la matriz traspuesta y el adjunto de la traspuesta: 

​$$|A|=\begin{vmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 1 & 5\\-2 & 0 & 1\end{vmatrix}=2\rightarrow A^t=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & 5 & 1\end{pmatrix}\rightarrow adj(A^t)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-13 & 2 & -10\\2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, se divide por el determinante:

​$$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}adj(A^t)=\underline{\cfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-13 & 2 & -10\\2 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

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