Cálculo matricial: Suma y producto de matrices Suma de matrices Para sumar matrices, estas tienen que ser de la misma dimensión A m , n = a i j A_{m,n}=a_{ij} A m , n = a ij B m , n = b i j \space B_{m,n}=b_{ij} B m , n = b ij El resultado es una matriz de la misma dimensión C m , n = c i j C_{m,n}=c_{ij} C m , n = c ij c i j = a i j + b i j c o n 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n c_{ij} = a_{ij}+b_{ij} \space con \space 1\le i \le m \space y \space 1\le j \le n c ij = a ij + b ij co n 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n
Hay que sumar los elementos de ambas matrices que se encuentran en la misma posición .
Ejemplo ( 2 3 0 4 3 8 5 6 1 ) + ( 4 3 1 4 2 6 7 1 1 ) = ( 2 + 4 3 + 3 0 + 1 4 + 1 3 + 2 8 + 6 5 + 7 6 + 1 1 + 1 ) = ( 6 6 1 5 5 14 12 7 2 ) \begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\4 & 3 & 8\\5 & 6 & 1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4 & 3 & 1\\4 & 2 &6\\7 & 1& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+4 & 3+3 & 0+1\\4+1 & 3+2 & 8+6\\5+7 & 6+1 & 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 6 & 1\\5 & 5 & 14\\12 & 7 & 2\end{pmatrix} 2 4 5 3 3 6 0 8 1 + 4 4 7 3 2 1 1 6 1 = 2 + 4 4 + 1 5 + 7 3 + 3 3 + 2 6 + 1 0 + 1 8 + 6 1 + 1 = 6 5 12 6 5 7 1 14 2
Propiedades de las sumas matriciales Sean las matrices de la misma dimensión se cumple que:
Propiedad conmutativa
A + B = B + A A + B = B+ A A + B = B + A
Propiedad asociativa
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A + (B + C) = (A+ B ) + C A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
Elemento neutro
A m . n + O m , n = A m , n A_{m.n}+ O_{m,n}= A _{m,n} A m . n + O m , n = A m , n
Traspuesta de una suma
( A + B ) t = A t + B t (A+B)^t = A^t + B^t ( A + B ) t = A t + B t
Matriz opuesta
A + ( − A ) = O A + (-A) = O A + ( − A ) = O
Producto de un número por una matriz Sea el producto de un número λ \lambda λ A m , n A_{m,n} A m , n A m , n A_{m,n} A m , n
Ejemplo 2 ⋅ ( 2 5 3 4 3 5 2 1 3 ) = ( 2 ⋅ 2 5 ⋅ 2 3 ⋅ 2 4 ⋅ 2 3 ⋅ 2 5 ⋅ 2 2 ⋅ 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 2 ) = ( 4 10 6 8 6 10 4 2 6 ) 2\cdot\begin{pmatrix}2 & 5 &3\\4 & 3 & 5\\2 & 1 &3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\cdot 2 & 5\cdot 2 &3\cdot 2\\4 \cdot 2& 3\cdot 2 & 5\cdot 2\\2\cdot 2 & 1 \cdot 2&3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 10 &6\\8& 6 & 10\\4 & 2 &6\end{pmatrix} 2 ⋅ 2 4 2 5 3 1 3 5 3 = 2 ⋅ 2 4 ⋅ 2 2 ⋅ 2 5 ⋅ 2 3 ⋅ 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 2 5 ⋅ 2 3 ⋅ 2 = 4 8 4 10 6 2 6 10 6
Propiedades del producto de un número por una matriz Sean las matrices de la misma dimensión se cumple que:
Propiedad distributiva (matrices)
λ ( A + B ) = λ A + λ B \lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B λ ( A + B ) = λ A + λ B
Propiedad distributiva (números)
( λ + μ ) A = λ A + μ A (\lambda +\mu )A = \lambda A +\mu A ( λ + μ ) A = λ A + μ A
Propiedad asociativa
( λ ⋅ μ ) ⋅ A = λ ⋅ ( μ ⋅ A ) (\lambda \cdot \mu )\cdot A= \lambda \cdot (\mu \cdot A) ( λ ⋅ μ ) ⋅ A = λ ⋅ ( μ ⋅ A )
Elemento neutro
1 ⋅ A = A 1 \cdot A= A 1 ⋅ A = A
Producto de matrices El número de elementos de ambas tiene que coincidir , de modo que el número de columnas de la primera matriz sea el mismo que el número de filas de la segunda matriz. Multiplica la fila i i i j j j p i j = a i j ⋅ b i j = a i 1 ⋅ b 1 j + a i 2 ⋅ b 2 j + a i 3 ⋅ b 3 j + . . . + a i n ⋅ b n j = ∑ k = 1 n a i k ⋅ b k j p_{ij}= a_{ij} \cdot b_{ij}= a_{i1}\cdot b_{1j} + a_{i2}\cdot b_{2j}+a_{i3}\cdot b_{3j}+...+ a_{in}\cdot b_{nj}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\cdot b_{kj} p ij = a ij ⋅ b ij = a i 1 ⋅ b 1 j + a i 2 ⋅ b 2 j + a i 3 ⋅ b 3 j + ... + a in ⋅ b nj = k = 1 ∑ n a ik ⋅ b kj
La matriz resultante tiene el mismo número de filas de la primera matriz y el mismo número de columnas de la segunda. Ejemplo ( 3 5 1 4 3 2 ) ⋅ ( 3 3 4 5 2 7 0 8 1 ) = ( ( 9 + 25 + 0 ) ( 9 + 10 + 8 ) ( 12 + 35 + 1 ) ( 12 + 15 + 2 ) ( 12 + 6 + 16 ) ( 16 + 21 + 2 ) ) = ( 34 27 48 29 34 39 ) \begin{pmatrix}3 & 5 &1\\4 & 3 & 2\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3 & 3&4\\5 & 2&7\\0 & 8&1\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(9+25+0) & (9+10+8) & (12+35+1)\\(12+15+2) & (12+6+16) & (16+21+2)\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}34 & 27 & 48\\29&34&39\\\end{pmatrix} ( 3 4 5 3 1 2 ) ⋅ 3 5 0 3 2 8 4 7 1 = ( ( 9 + 25 + 0 ) ( 12 + 15 + 2 ) ( 9 + 10 + 8 ) ( 12 + 6 + 16 ) ( 12 + 35 + 1 ) ( 16 + 21 + 2 ) ) = ( 34 29 27 34 48 39 )
Propiedades del producto de matrices Sean las matrices con una dimensión que permita el producto y suma de matrices, se cumple que:
Propiedad asociativa
A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C
Propiedad distributiva
A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C A \cdot (B + C) = A\cdot B + A \cdot C A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
Traspuesta de un producto
( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t (A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t
Elemento neutro
I m ⋅ A m , n = A m , n y A m , n ⋅ I n = A m , n I_m \cdot A_{m,n} = A_{m,n} \space y \space A_{m,n}\cdot I_n = A_{m,n} I m ⋅ A m , n = A m , n y A m , n ⋅ I n = A m , n
