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Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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Docente: Jorge

Resumen

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Aplicar el método de Gauss

Definición

El método de Gauss sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de la obtención de un sistema equivalente triangular.


{a1x+b1y+c1z=d1b2y+c2z=d2c3z=d3\begin{cases} \begin{aligned} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ b_2y+c_2z=d_2 \\ c_3z=d_3\end{aligned} \end{cases}


Una vez tengas este sistema se calculan las incógnitas de abajo hacia arriba, primero zz, con zz obtienes yy y con ambas se obtiene xx.


Obtención del sistema equivalente triangular

El sistema equivalente triangular se obtiene siguiendo los siguientes pasos.


PROCEDIMIENTO

1.
Elimina la incógnita xx de la segunda ecuación con ayuda de la primera o tercera.​
2.
Elimina la incógnita xx de la tercera ecuación con ayuda solo de la primera ecuación.​
3.
Elimina la incógnita yy de la tercera ecuación con ayuda solo de la segunda ecuación.
(Observa que si redujeras la tercera ecuación con ayuda de la primera aparecería la incógnita xx y no llegarías al sistema triangular equivalente)


Ejemplo

Resuelve por Gauss el siguiente sistema: 

{2x+3y+z=12x+2y+5z=14x+4y+11z=1\begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y+z&=1 \\ 2x+2y+5z&=-1 \\ -4x+4y+11z&=-1\end{aligned} \end{cases}


E3=E32E1E2=E2E1{2x+3y+z=1y+4z=22y+9z=3E3=E32E2{2x+3y+z=1y+4z=2z=1\xrightarrow[E_3=E_3-2E_1]{E_2=E_2-E_1} \begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y+z&=1 \\ -y+4z&=-2 \\ -2y+9z&=-3\end{aligned} \end{cases}\xrightarrow{E_3=E_3-2E_2} \begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y+z&=1 \\ -y+4z&=-2 \\ z&=1\end{aligned} \end{cases}


y+4(1)=2 y=6-y+4(1)=-2\implies y=6​​​​

2x+3(6)+1=1 x=92x+3(6)+1=1\implies x=-9

​​

La solución es (9,6,1)\underline{(-9,6,1)}


​​​

Matemáticas; Sistemas de ecuaciones; 1. Bachillerato; Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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