Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Aplicar el método de Gauss

Definición

El método de Gauss sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de la obtención de un sistema equivalente triangular.

​$$\begin{cases} \begin{aligned} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ b_2y+c_2z=d_2 \\ c_3z=d_3\end{aligned} \end{cases}$$

Una vez tengas este sistema se calculan las incógnitas de abajo hacia arriba, primero $$z$$, con $$z$$ obtienes $$y$$ y con ambas se obtiene $$x$$.

Obtención del sistema equivalente triangular

El sistema equivalente triangular se obtiene siguiendo los siguientes pasos.

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Resuelve por Gauss el siguiente sistema: 

​$$\begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y+z&=1 \\ 2x+2y+5z&=-1 \\ -4x+4y+11z&=-1\end{aligned} \end{cases}$$

​

​$$\xrightarrow[E_3=E_3-2E_1]{E_2=E_2-E_1} \begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y+z&=1 \\ -y+4z&=-2 \\ -2y+9z&=-3\end{aligned} \end{cases}\xrightarrow{E_3=E_3-2E_2} \begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y+z&=1 \\ -y+4z&=-2 \\ z&=1\end{aligned} \end{cases}$$

$$-y+4(1)=-2\implies y=6$$​​​​

​$$2x+3(6)+1=1\implies x=-9$$

​​

La solución es $$\underline{(-9,6,1)}$$

​​​