Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital es una herramienta que usa derivadas para resolver límites indeterminados como $\cfrac{\infty}{\infty}$ y $\cfrac{0}{0}$ .

Si existe el límite de $\it\cfrac{f \ '(x)}{g\ '(x)}$ en $\it a$ también existe el límite de $\it\cfrac{f(x)}{g(x)}$ en $a$ y además serán iguales , es decir, $\it \lim\limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f\ '(x)}{g\ '(x)}$

Recuerda que: Los límites que no presentan indeterminación como cocientes también pueden ser resueltos con esta regla, para ello solo hay que hacer una transformación previa para obtener las indeterminaciones $\cfrac{\infty}{\infty}$ y $\cfrac{0}{0}$ .

Cálculo de límites a partir de la regla de L'Hôpital

PROCEDIMIENTO

1.	Calcula directamente el límite para identificar el tipo de indeterminación.
2.	Aplica la regla de L'Hôpital.
3.	Vuelve a calcular el límite.
4.	Si te queda otra indeterminación tienes que aplicar nuevamente la regla de L'Hôpital y volver a calcular el límite. Puedes aplicar la regla tantas veces como indeterminaciones $\cfrac{0}{0}$ ó $\cfrac{\infty}{\infty}$ te encuentres.

Ejemplo

Calcula $\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}$ 

Primero calcula el límite para identificar el tipo de indeterminación

$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}= \cfrac{\infty}{\infty}$

Como es una indeterminación $\cfrac{\infty}{\infty}$ puedes aplicar la regla de L'Hôpital: $\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 

$f(x) =-e^x+5\to f'(x)=-e^x$ 

$g(x)= x^3-2 \to g'(x)=3x^2$

$\lim\limits_{x \to -1} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}=\lim\limits_{x \to -1} \cfrac{-e^x}{3x^2}$ 

Una vez aplicada la regla de l'Hôpital, vuelve a calcular el límite:

$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}=\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{3x^2} = \cfrac{\infty}{\infty}$ 

Como todavía existe una indeterminación, aplica nuevamente la regla de L'Hôpital y calcula el límite:

$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{3x^2} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{6x} = \cfrac{-\infty}{\infty}$ 

Nuevamente hay otra indeterminación, por lo que tienes que aplicar otra vez la regla de L'Hôpital:

$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{6x} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{6} =\cfrac{-\infty}{6} = -\infty$ 

Solución:

$\underline{\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2} = -\infty}$