Indeterminaciones: Regla de l'Hòpital

Regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital es una herramienta que usa derivadas para resolver límites indeterminados como $$\cfrac{\infty}{\infty}$$  y  $$\cfrac{0}{0}$$ .

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Si existe el límite de $$\it\cfrac{f \ '(x)}{g\ '(x)}$$  en $$\it a$$ también existe el límite de $$\it\cfrac{f(x)}{g(x)}$$  en $$a$$ y además serán iguales , es decir,  $$\it \lim\limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f\ '(x)}{g\ '(x)}$$

Recuerda que: Los límites que no presentan indeterminación como cocientes también pueden ser resueltos con esta regla, para ello solo hay que hacer una transformación previa para obtener las indeterminaciones $$\cfrac{\infty}{\infty}$$  y  $$\cfrac{0}{0}$$ .​

Cálculo de límites a partir de la regla de L'Hôpital

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Calcula $$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}$$​

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Primero calcula el límite para identificar el tipo de indeterminación

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$$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}= \cfrac{\infty}{\infty}$$​​​​

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Como es una indeterminación $$\cfrac{\infty}{\infty}$$ puedes aplicar la regla de L'Hôpital:  $$\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}$$​

$$f(x) =-e^x+5\to f'(x)=-e^x$$​​

​$$g(x)= x^3-2 \to g'(x)=3x^2$$​​

$$\lim\limits_{x \to -1} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}=\lim\limits_{x \to -1} \cfrac{-e^x}{3x^2}$$​​

Una vez aplicada la regla de l'Hôpital, vuelve a calcular el límite:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2}=\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{3x^2} = \cfrac{\infty}{\infty}$$​​

Como todavía existe una indeterminación, aplica nuevamente la regla de L'Hôpital y calcula el límite:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{3x^2} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{6x} = \cfrac{-\infty}{\infty}$$​​

Nuevamente hay otra indeterminación, por lo que tienes que aplicar otra vez la regla de L'Hôpital:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{6x} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x}{6} =\cfrac{-\infty}{6} = -\infty$$​​

Solución:

 $$\underline{\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{-e^x+5}{x^3-2} = -\infty}$$