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Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

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Docente: Antonio

Resumen

Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Regla de la cadena 

Definición

Para poder derivar funciones que son compuestas, existe la conocida como la regla de la cadena:


"Si g(x)g(x) tiene derivada en xx y f(x)f(x) tiene derivada en g(x)g(x), entonces la función (fg)(x)(f\circ g)(x) tiene derivada en xx y es (fg)´(x)=f´(g(x))g´(x)(f \circ g)´(x)=f´(g(x))\cdot g´(x)"


Ejemplo

Calcula la derivada de la función h(x)=(x23)3{h(x)=(x^2-3)^3} a través de la derivación de funciones compuestas.


En primer lugar, se debe de buscar cuáles son las funciones que, compuestas, dan lugar a la función original.

Si se observa hh, al mirarla desde fuera nos encontramos con un cubo, por lo que  la primera función a componer será: 

f(x)=x3{\it f(x)=x^3}

Como lo que se quiere elevar al cubo no es xx, la otra función será el polinomio que se quiere elevar al cubo, es decir:

g(x)=x23{ g(x)=x^2-3}

Así, efectivamente se obtiene que:

h(x)=(x23)3f(x)=x3g(x)=x23h(x)=(fg)(x){ h(x)=(x^2-3)^3\qquad\qquad f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-3}\\{h(x)=(f \circ g)(x)}


Una vez que ya se ha conseguido reescribir nuestra función como una función compuesta, utilizamos la regla de derivación para funciones compuestas

h´(x)=(fg)´(x)(fg)´(x)=f´´(g(x))g´(x)=3(x23)22x=6x(x23){ h´(x)=(f \circ g)´(x)}\\{ (f\circ g)´(x)=f´´(g(x))\cdot g´(x)=3(x^2-3)^2\cdot2x=\underline{6x(x^2-3)}}

​​

Aplicación sucesiva de la regla de la cadena

Si una función se obtiene por composición de tres o más funciones, para obtener su derivada se aplica la asociatividad de la composición y la regla de la cadena.


t´(x)=(fgh)´(x)=f´((gh)(x))g´(h(x))h´(x)t´(x)=(f \circ g \circ h)´(x)=f´((g \circ h)(x))\cdot g´(h(x))\cdot h´(x)


Ejemplo 

Calcula la derivada de la función t(x)=(x32)3{t(x)=\left (\sqrt{x^3-2}\right)^3} a través de la regla de la cadena.


En primer lugar, se debe buscar cuáles son las funciones que, compuestas, dan lugar a la función original. 

Observando la función de fuera hacia dentro se encuentra un cubo, después una raíz y por último un polinomio. Así, obtenemos:

t(x)=(x32)3f(x)=x3g(x)=xh(x)=x32t(x)=(fgh)(x){t(x)=\left (\sqrt{x^3-2}\right)^3 \qquad f(x)=x^3\qquad g(x)=\sqrt{x}\qquad h(x)=x^3-2}\\{\it t(x)=(f \circ g\circ h)(x)}


Una vez se haya conseguido reescribir la función como una función compuesta, utilizamos la regla de la cadena para obtener la derivada

t´(x)=(fgh)´(x)(fgh)´(x)=f´´((gh)(x))g´(h(x))h´(x)=3(x32)212x323x2=9x2x322{ t´(x)=(f \circ g \circ h)´(x)}\\{(f \circ g \circ h)´(x)=f´´((g \circ h)(x))\cdot g´(h(x))\cdot h´(x)=3\left (\sqrt{x^3-2}\right)^2\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^3-2}}\cdot 3x^2=\underline{\cfrac{9x^2\sqrt{x^3-2}}{2}}}​​


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Preguntas frecuentes

¿Qué reglas se aplican para derivar funciones compuestas por tres o más funciones?

¿Para qué sirve la regla de la cadena?

Beta

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