Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Regla de la cadena 

Definición

Para poder derivar funciones que son compuestas, existe la conocida como la regla de la cadena:

"Si $$g(x)$$ tiene derivada en $$x$$ y $$f(x)$$ tiene derivada en $$g(x)$$, entonces la función $$(f\circ g)(x)$$ tiene derivada en $$x$$ y es $$(f \circ g)´(x)=f´(g(x))\cdot g´(x)$$"

Ejemplo

Calcula la derivada de la función $${h(x)=(x^2-3)^3}$$ a través de la derivación de funciones compuestas.

En primer lugar, se debe de buscar cuáles son las funciones que, compuestas, dan lugar a la función original.

Si se observa $$h$$, al mirarla desde fuera nos encontramos con un cubo, por lo que  la primera función a componer será: 

$${\it f(x)=x^3}$$

Como lo que se quiere elevar al cubo no es $$x$$, la otra función será el polinomio que se quiere elevar al cubo, es decir:

$${ g(x)=x^2-3}$$

Así, efectivamente se obtiene que:

​$${ h(x)=(x^2-3)^3\qquad\qquad f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-3}\\{h(x)=(f \circ g)(x)}$$

Una vez que ya se ha conseguido reescribir nuestra función como una función compuesta, utilizamos la regla de derivación para funciones compuestas

​$${ h´(x)=(f \circ g)´(x)}\\{ (f\circ g)´(x)=f´´(g(x))\cdot g´(x)=3(x^2-3)^2\cdot2x=\underline{6x(x^2-3)}}$$

​​

Aplicación sucesiva de la regla de la cadena

Si una función se obtiene por composición de tres o más funciones, para obtener su derivada se aplica la asociatividad de la composición y la regla de la cadena.

​$$t´(x)=(f \circ g \circ h)´(x)=f´((g \circ h)(x))\cdot g´(h(x))\cdot h´(x)$$

Ejemplo 

Calcula la derivada de la función $${t(x)=\left (\sqrt{x^3-2}\right)^3}$$ a través de la regla de la cadena.

En primer lugar, se debe buscar cuáles son las funciones que, compuestas, dan lugar a la función original. 

Observando la función de fuera hacia dentro se encuentra un cubo, después una raíz y por último un polinomio. Así, obtenemos:

​$${t(x)=\left (\sqrt{x^3-2}\right)^3 \qquad f(x)=x^3\qquad g(x)=\sqrt{x}\qquad h(x)=x^3-2}\\{\it t(x)=(f \circ g\circ h)(x)}$$

Una vez se haya conseguido reescribir la función como una función compuesta, utilizamos la regla de la cadena para obtener la derivada

​$${ t´(x)=(f \circ g \circ h)´(x)}\\{(f \circ g \circ h)´(x)=f´´((g \circ h)(x))\cdot g´(h(x))\cdot h´(x)=3\left (\sqrt{x^3-2}\right)^2\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^3-2}}\cdot 3x^2=\underline{\cfrac{9x^2\sqrt{x^3-2}}{2}}}$$​​