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Derivada de la función inversa

Derivada de la función inversa

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Docente: Antonio

Resumen

Derivada de la función inversa

Derivar funciones inversas

Si dadas dos funciones ff y gg, una es la inversa de la otra, se cumple que (fg)(x)=x(f \circ g)(x)=x. Por lo tanto, derivando a ambos lados de la igualdad, se cumple que:


 (fg)(x)=1(f \circ g)'(x)=1


Teniendo esto en cuenta, para hallar la derivada de la inversa de gg se puede aplicar la regla de la cadena:


(fg)(x)=f(g(x))g(x)1=f(g(x))g(x)g(x)=1f(g(x))(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) \newline 1=f'(g(x))\cdot g'(x) \newline g'(x)=\cfrac{1}{f'(g(x))}


Por lo tanto, si una función ff, y su inversa f1f^{-1}, existen y son derivables, se cumple que:


(f1)(x)=1f(f1(x))\bold{(f^{-1})'(x)=\cfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}}​​


Recuerda que: En funciones inversas se tiene que cumplir que (ff1)(x)=(f1f)(x)=x{\it (f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=x}, por lo que da igual a qué llamemos ff y a qué llamemos f1f^{-1}.

Ejemplo

Deduce la derivada de f(x)=x5{\it f(x)=\sqrt[5]{x}}  


En primer lugar, calculamos la inversa de ff:


f1=x5ya que(ff1)(x)=x55=x{ f^{-1}=x^5 \quad \rm ya \ que \quad (f \circ f^{-1})(x)=\sqrt[5]{x^5}=x} ​​


Por último, aplicamos la fórmula de la derivada de una función inversa:


f1(f(x))=(x5)5f (x)=1(f1)(f(x))=15x45{ f^{-1}(f(x))=(\sqrt[5]{x})^5}\\{f\ ''(x)=\cfrac{1}{(f^{-1})'(f(x))}=\cfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}}​​

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Preguntas frecuentes

¿Cómo se representa una función inversa?

¿Cómo se calcula la derivada de una función inversa?

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