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Integración de funciones racionales

Integración de funciones racionales

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Docente: Antonio

Resumen

Integración de funciones racionales

​​Teorema de descomposición en fracciones simples 

Si grado P(x)<grado Q(x)\bold{grado\ P(x)< grado\ Q(x)}, la función P(x)Q(x)\cfrac{P(x)}{Q(x)} puede escribirse como suma de fracciones simples de acuerdo a las siguientes condiciones:

  • ​Por cada raíz real rr de multiplicidad α\alpha que tenga Q(x)Q(x), escribimos α\alpha  fracciones de la forma:

A1xr+A2(xr)2+...+Aα(xr)α\cfrac{A_1}{x-r}+\cfrac{A_2}{(x-r)^2}+ ... +\cfrac{A_\alpha}{(x-r)^{\alpha}}​​

  • Por cada pareja de raíces complejas conjugadas de multiplicidad β\beta que tenga Q(x)Q(x), escribimos β\beta fracciones de la forma:

M1x+N1x2+ax+b+M2x+N2(x2+ax+b)2+...+Mβx+Nβ(x2+ax+b)β\cfrac{M_1x+N_1}{x^2+ax+b}+\cfrac{M_2x+N_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\cfrac{M_\beta x+N_\beta}{(x^2+ax+b)^\beta}​​


Si grado P(x)grado Q(x)\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}, hacemos la división:


P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)\cfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\cfrac{R(x)}{Q(x)}


 Donde C(x)C(x)​ es el cociente y R(x)R(x)​ el resto


En este caso, la primitiva se calcula obteniendo la de C(x)C(x) y la de una fracción en la que se cumpla que grado P(x)grado Q(x)\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}.


Cálculo de integrales racionales indefinidas 

Raíces reales en el denominador 

​​

​​Ejemplo

Resuelve la siguiente integral:  x28x3+2x2dx\it \displaystyle\intop{\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2} dx} 


Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por la descomposición del denominador.


x28x3+2x2=x28x2(x+2)=Ax2+Bx+Cx+2\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}=\cfrac{x^2-8}{x^2(x+2)}=\cfrac{A}{x^2}+\cfrac{B}{x}+\cfrac{C}{x+2}


Efectuamos la suma:


x28=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x28=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=4B=2C=1{ x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{ x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\\hspace{5mm}\\{ A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}​​


Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes A,B,C\it A, B, C igualando los coeficientes 


x28=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x28=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=4B=2C=1{x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\ \hspace{5mm}\\{A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}


Reescribimos la integral y calculamos 


x28x3+2x2dx=4dxx2+2dxxdxx+24dxx2+2dxxdxx+2=4x+2lnxln(x+2)+C{\displaystyle \int \cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}dx=-4\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}}\\{-4\displaystyle\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}=\cfrac{4}{x}+2\ln x-\ln (x+2)+C}


Raíces reales y complejas en el denominador


Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: 2x2+3x3+3x\displaystyle\int \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x} 


Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos con la descomposición del denominador 


2x2+3x3+3x=2x2+3x(x2+3)=Ax+Bx+Cx2+3{ \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{2x^2+3}{x(x^2+3)}=\cfrac{A}{x}+\cfrac{Bx+C}{x^2+3}}​​


Efectuamos la suma


2x2+3x3+3x=A(x2+3)+(Bx+C)xx(x2+3){\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{A(x^2+3)+(Bx+C)x}{x(x^2+3)}}​​


Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes A,B,C\it A,B,C igualando coeficientes


2x2+3=A(x2+3)+(Bx+C)x2x2+3=(A+B)x2+Cx+3AA=1B=1C=0{2x^2+3=A(x^2+3)+(Bx+C)x}\\{2x^2+3=(A+B)x^2+Cx+3A}\\ \hspace{5mm}\\{A= 1\qquad B=1\qquad C=0}


Reescribimos la integral y calculamos


2x2+3x3+3xdx=dxx+xdxx2+3dxx+xdxx2+3=lnx+12ln(x2+3)+C{\displaystyle \int\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}dx=\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}}\\{\displaystyle\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}=\ln x+\cfrac{1}{2}\ln(x^2+3)+C}


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¿Cómo se descompone una fracción en fracciones simples?

¿Cómo se integran funciones racionales?

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