Integración de funciones racionales
Teorema de descomposición en fracciones simples
Si grado P(x)<grado Q(x), la función Q(x)P(x) puede escribirse como suma de fracciones simples de acuerdo a las siguientes condiciones:
- Por cada raíz real r de multiplicidad α que tenga Q(x), escribimos α fracciones de la forma:
x−rA1+(x−r)2A2+...+(x−r)αAα
- Por cada pareja de raíces complejas conjugadas de multiplicidad β que tenga Q(x), escribimos β fracciones de la forma:
x2+ax+bM1x+N1+(x2+ax+b)2M2x+N2+...+(x2+ax+b)βMβx+Nβ
Si grado P(x)≥grado Q(x), hacemos la división:
Q(x)P(x)=C(x)+Q(x)R(x)
Donde C(x)C(x)C(x) es el cociente y R(x)R(x)R(x) el resto
En este caso, la primitiva se calcula obteniendo la de C(x) y la de una fracción en la que se cumpla que grado P(x)≥grado Q(x).
Cálculo de integrales racionales indefinidas
Raíces reales en el denominador
Ejemplo
Resuelve la siguiente integral: ∫x3+2x2x2−8dx
Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por la descomposición del denominador.
x3+2x2x2−8=x2(x+2)x2−8=x2A+xB+x+2C
Efectuamos la suma:
x2−8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x2−8=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=−4B=2C=−1
Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes A,B,C igualando los coeficientes
x2−8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x2−8=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=−4B=2C=−1
Reescribimos la integral y calculamos
∫x3+2x2x2−8dx=−4∫x2dx+2∫xdx−∫x+2dx−4∫x2dx+2∫xdx−∫x+2dx=x4+2lnx−ln(x+2)+C
Raíces reales y complejas en el denominador
Ejemplo
Resuelve la siguiente integral: ∫x3+3x2x2+3
Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos con la descomposición del denominador
x3+3x2x2+3=x(x2+3)2x2+3=xA+x2+3Bx+C
Efectuamos la suma
x3+3x2x2+3=x(x2+3)A(x2+3)+(Bx+C)x
Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes A,B,C igualando coeficientes
2x2+3=A(x2+3)+(Bx+C)x2x2+3=(A+B)x2+Cx+3AA=1B=1C=0
Reescribimos la integral y calculamos
∫x3+3x2x2+3dx=∫xdx+∫x2+3xdx∫xdx+∫x2+3xdx=lnx+21ln(x2+3)+C