Integración de funciones racionales

​​Teorema de descomposición en fracciones simples 

Si $$\bold{grado\ P(x)< grado\ Q(x)}$$, la función $$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$$ puede escribirse como suma de fracciones simples de acuerdo a las siguientes condiciones:

• ​Por cada raíz real $$r$$ de multiplicidad $$\alpha$$ que tenga $$Q(x)$$, escribimos $$\alpha$$  fracciones de la forma:
  

​$$\cfrac{A_1}{x-r}+\cfrac{A_2}{(x-r)^2}+ ... +\cfrac{A_\alpha}{(x-r)^{\alpha}}$$​​

• Por cada pareja de raíces complejas conjugadas de multiplicidad $$\beta$$ que tenga $$Q(x)$$, escribimos $$\beta$$ fracciones de la forma:

​$$\cfrac{M_1x+N_1}{x^2+ax+b}+\cfrac{M_2x+N_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\cfrac{M_\beta x+N_\beta}{(x^2+ax+b)^\beta}$$​​

Si $$\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}$$, hacemos la división:

$$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\cfrac{R(x)}{Q(x)}$$

 Donde $C(x)$​ es el cociente y $R(x)$​ el resto

En este caso, la primitiva se calcula obteniendo la de $$C(x)$$ y la de una fracción en la que se cumpla que $$\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}$$.

Cálculo de integrales racionales indefinidas 

Raíces reales en el denominador 

​​

​​Ejemplo

Resuelve la siguiente integral:  $$\it \displaystyle\intop{\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2} dx}$$ 

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por la descomposición del denominador.

$$\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}=\cfrac{x^2-8}{x^2(x+2)}=\cfrac{A}{x^2}+\cfrac{B}{x}+\cfrac{C}{x+2}$$

Efectuamos la suma:

​$${ x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{ x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\\hspace{5mm}\\{ A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}$$​​

Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes $$\it A, B, C$$ igualando los coeficientes 

$${x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\ \hspace{5mm}\\{A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}$$

Reescribimos la integral y calculamos 

$${\displaystyle \int \cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}dx=-4\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}}\\{-4\displaystyle\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}=\cfrac{4}{x}+2\ln x-\ln (x+2)+C}$$

Raíces reales y complejas en el denominador

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: $$\displaystyle\int \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}$$ 

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos con la descomposición del denominador 

$${ \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{2x^2+3}{x(x^2+3)}=\cfrac{A}{x}+\cfrac{Bx+C}{x^2+3}}$$​​

Efectuamos la suma

$${\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{A(x^2+3)+(Bx+C)x}{x(x^2+3)}}$$​​

​

Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes $$\it A,B,C$$ igualando coeficientes

$${2x^2+3=A(x^2+3)+(Bx+C)x}\\{2x^2+3=(A+B)x^2+Cx+3A}\\ \hspace{5mm}\\{A= 1\qquad B=1\qquad C=0}$$

Reescribimos la integral y calculamos

$${\displaystyle \int\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}dx=\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}}\\{\displaystyle\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}=\ln x+\cfrac{1}{2}\ln(x^2+3)+C}$$