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Integrales

Integrales indefinidas I: Definición y propiedades

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Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

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Funciones: Definición y tipos

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Matrices

Matrices: Definición y tipos

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Inversa de una matriz: Cálculo y propiedades

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Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema lineal como ecuación matricial

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Sistemas homogéneos: Características y propiedades

Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

Vídeo Explicativo

Docente: Antonio

Resumen

Integración de funciones racionales

​​Teorema de descomposición en fracciones simples 

Si grado P(x)<grado Q(x)\bold{grado\ P(x)< grado\ Q(x)}grado P(x)<grado Q(x), la función P(x)Q(x)\cfrac{P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)​ puede escribirse como suma de fracciones simples de acuerdo a las siguientes condiciones:

  • ​Por cada raíz real rrr de multiplicidad α\alphaα que tenga Q(x)Q(x)Q(x), escribimos α\alphaα  fracciones de la forma:

​A1x−r+A2(x−r)2+...+Aα(x−r)α\cfrac{A_1}{x-r}+\cfrac{A_2}{(x-r)^2}+ ... +\cfrac{A_\alpha}{(x-r)^{\alpha}}x−rA1​​+(x−r)2A2​​+...+(x−r)αAα​​​​

  • Por cada pareja de raíces complejas conjugadas de multiplicidad β\betaβ que tenga Q(x)Q(x)Q(x), escribimos β\betaβ fracciones de la forma:

​M1x+N1x2+ax+b+M2x+N2(x2+ax+b)2+...+Mβx+Nβ(x2+ax+b)β\cfrac{M_1x+N_1}{x^2+ax+b}+\cfrac{M_2x+N_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\cfrac{M_\beta x+N_\beta}{(x^2+ax+b)^\beta}x2+ax+bM1​x+N1​​+(x2+ax+b)2M2​x+N2​​+...+(x2+ax+b)βMβ​x+Nβ​​​​


Si grado P(x)≥grado Q(x)\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}grado P(x)≥grado Q(x), hacemos la división:


P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)\cfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\cfrac{R(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)​=C(x)+Q(x)R(x)​


 Donde C(x)C(x)C(x)​ es el cociente y R(x)R(x)R(x)​ el resto


En este caso, la primitiva se calcula obteniendo la de C(x)C(x)C(x) y la de una fracción en la que se cumpla que grado P(x)≥grado Q(x)\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}grado P(x)≥grado Q(x).


Cálculo de integrales racionales indefinidas 

Raíces reales en el denominador 

​​

​​Ejemplo

Resuelve la siguiente integral:  ∫x2−8x3+2x2dx\it \displaystyle\intop{\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2} dx}∫x3+2x2x2−8​dx 


Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por la descomposición del denominador.


x2−8x3+2x2=x2−8x2(x+2)=Ax2+Bx+Cx+2\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}=\cfrac{x^2-8}{x^2(x+2)}=\cfrac{A}{x^2}+\cfrac{B}{x}+\cfrac{C}{x+2}x3+2x2x2−8​=x2(x+2)x2−8​=x2A​+xB​+x+2C​


Efectuamos la suma:


​x2−8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x2−8=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=−4B=2C=−1{ x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{ x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\\hspace{5mm}\\{ A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}x2−8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x2−8=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=−4B=2C=−1​​


Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes A,B,C\it A, B, CA,B,C igualando los coeficientes 


x2−8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x2−8=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=−4B=2C=−1{x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\ \hspace{5mm}\\{A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}x2−8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx2x2−8=(B+C)x2+(A+2B)x+2AA=−4B=2C=−1


Reescribimos la integral y calculamos 


∫x2−8x3+2x2dx=−4∫dxx2+2∫dxx−∫dxx+2−4∫dxx2+2∫dxx−∫dxx+2=4x+2ln⁡x−ln⁡(x+2)+C{\displaystyle \int \cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}dx=-4\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}}\\{-4\displaystyle\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}=\cfrac{4}{x}+2\ln x-\ln (x+2)+C}∫x3+2x2x2−8​dx=−4∫x2dx​+2∫xdx​−∫x+2dx​−4∫x2dx​+2∫xdx​−∫x+2dx​=x4​+2lnx−ln(x+2)+C


Raíces reales y complejas en el denominador


Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: ∫2x2+3x3+3x\displaystyle\int \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}∫x3+3x2x2+3​ 


Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos con la descomposición del denominador 


2x2+3x3+3x=2x2+3x(x2+3)=Ax+Bx+Cx2+3{ \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{2x^2+3}{x(x^2+3)}=\cfrac{A}{x}+\cfrac{Bx+C}{x^2+3}}x3+3x2x2+3​=x(x2+3)2x2+3​=xA​+x2+3Bx+C​​​


Efectuamos la suma


2x2+3x3+3x=A(x2+3)+(Bx+C)xx(x2+3){\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{A(x^2+3)+(Bx+C)x}{x(x^2+3)}}x3+3x2x2+3​=x(x2+3)A(x2+3)+(Bx+C)x​​​

​

Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes A,B,C\it A,B,CA,B,C igualando coeficientes


2x2+3=A(x2+3)+(Bx+C)x2x2+3=(A+B)x2+Cx+3AA=1B=1C=0{2x^2+3=A(x^2+3)+(Bx+C)x}\\{2x^2+3=(A+B)x^2+Cx+3A}\\ \hspace{5mm}\\{A= 1\qquad B=1\qquad C=0}2x2+3=A(x2+3)+(Bx+C)x2x2+3=(A+B)x2+Cx+3AA=1B=1C=0


Reescribimos la integral y calculamos


∫2x2+3x3+3xdx=∫dxx+∫xdxx2+3∫dxx+∫xdxx2+3=ln⁡x+12ln⁡(x2+3)+C{\displaystyle \int\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}dx=\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}}\\{\displaystyle\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}=\ln x+\cfrac{1}{2}\ln(x^2+3)+C}∫x3+3x2x2+3​dx=∫xdx​+∫x2+3xdx​∫xdx​+∫x2+3xdx​=lnx+21​ln(x2+3)+C


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Preguntas frecuentes

¿Cómo se descompone una fracción en fracciones simples?

Se tienen que escribir por cada raíz del denominador el mismo número de fracciones que la multiplicidad de la raíz. Después se suman todas y se averiguan los numeradores igualando coeficientes

¿Cómo se integran funciones racionales?

Descomponiendo la fracción en fracciones simples y sumando cada una de las integrales de esas fracciones

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