Números complejos: Definición y representación

Ampliación algebraica

Los números complejos, $$\cnums$$, son una ampliación de los números reales, $$\R$$, que dan solución a problemas algebraicos que solo con $$\R$$ no se pueden resolver.

Al igual que necesitas un número entero, $$\Z$$, para resolver una operación de números naturales como $$2-4$$, $$\Complex$$ nos permite resolver la operación  $$\sqrt{-1}$$​ que da lugar a la unidad imaginaria, $$i$$ :

​$$\sqrt{-1}= i\implies i^2=-1$$​​

En el conjunto de $$\Complex$$ todas las ecuaciones polinómicas tienen solución. Un número complejo se expresa de forma binómica como: $$z=a+bi$$​ siendo $$a$$​ (parte real) y $$b$$​ (parte imaginaria) números reales.

Ejemplo

Resuelve esta ecuación: $$x^2+4=0$$

$$x^2+4=0\implies x^2=-4\implies x=\pm \sqrt{-4}\implies x=\pm2\sqrt{-1}\implies \underline{x=\pm2i}$$​​

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Representación gráfica

• Si los números reales pueden representarse en la recta numérica, los números complejos pueden representarse en el plano. 
• El eje $$x$$​ representa la componente real y el eje $$y$$ la imaginaria. 
• El conjugado de un número $$\Complex$$​ mantiene su parte real pero su parte imaginaria es de signo contrario.
  

Ejemplo

Representa gráficamente los números imaginarios $$4+3i$$​ y $$4-3i$$.

La parte real es $$4$$ en ambos números, por lo tanto ocupan la misma coordenada en el eje $$x$$.

La parte imaginaria es la misma pero de signo contrario, por lo tanto, estarán en puntos opuestos en el eje $$y$$ (son conjugados).