Ecuaciones con expresiones racionales Resolver ecuaciones racionales Definición Una ecuación racional es aquella en la que aparecen fracciones algebraicas .
Resolución de ecuaciones racionales Las ecuaciones racionales son aquellas en las que la incógnita aparece en algún denominador . Para resolverlas sigue los siguientes pasos.:
Procedimiento 1.
Multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2.
Resuelve la ecuación polinómica resultante.
3.
Comprobar las soluciones.
Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación racional:
2 x + 1 x + 4 − 7 = 6 − 2 x 2 x + 4 \cfrac{2x+1}{x+4}-7=\cfrac{6-2x^2}{x+4} x + 4 2 x + 1 − 7 = x + 4 6 − 2 x 2
En primer lugar, se multiplican ambas partes de la ecuación por el m.c.m de los denominadores.
( x + 4 ) ( 2 x + 1 x + 4 − 7 ) = ( x + 4 ) ( 6 − 2 x 2 x + 4 ) (x+4)(\cfrac{2x+1}{x+4}-7)=(x+4)(\cfrac{6-2x^2}{x+4}) ( x + 4 ) ( x + 4 2 x + 1 − 7 ) = ( x + 4 ) ( x + 4 6 − 2 x 2 )
A continuación, multiplicamos y desarrollamos la ecuación hasta llegar a:
2 x + 1 − 7 x − 28 = 6 − 2 x 2 2x+1-7x-28=6-2x^2 2 x + 1 − 7 x − 28 = 6 − 2 x 2
Seguidamente, se escribe la ecuación de acuerdo a la forma general:
2 x 2 − 5 x − 33 = 0 2x^2-5x-33=0 2 x 2 − 5 x − 33 = 0
Después, se resuelve la ecuación de segundo grado empleando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a ; x = 5 ± ( − 5 ) 2 − 4 × 2 × − 33 2 × 2 x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a \times c}}{2 \times a}; x=\cfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 2 \times -33}}{2 \times 2} x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c ; x = 2 × 2 5 ± ( − 5 ) 2 − 4 × 2 × − 33
Primera solución de la ecuación:
x 1 = 5 + ( − 5 ) 2 − 4 × 2 × − 33 2 × 2 = 11 2 ‾ x_1=\cfrac{5+\sqrt{(-5)^2-4\times 2 \times -33}}{2 \times 2}=\underline {\cfrac{11}{2}} x 1 = 2 × 2 5 + ( − 5 ) 2 − 4 × 2 × − 33 = 2 11
Segunda solución de la ecuación:
x 2 = 5 − ( − 5 ) 2 − 4 × 2 × − 33 2 × 2 = − 3 ‾ x_2=\cfrac{5-\sqrt{(-5)^2-4\times 2 \times -33}}{2 \times 2}=\underline{-3} x 2 = 2 × 2 5 − ( − 5 ) 2 − 4 × 2 × − 33 = − 3