Operaciones con números complejos

Operar con números complejos

Suma y multiplicación de complejos por números reales

Las partes real e imaginaria de los números complejos se rigen por las mismas normas que los números reales cuando se opera con estos. Puedes sumar, restar, multiplicar o dividir y aplicar todas las propiedades que ya conoces para cada una de las partes de un número imaginario siempre que no mezcles las dos partes:

​$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$​

$$k(a+bi)=ka+kbi, k\isin \R$$​​

Ejemplo

Si $$z_1=2+3i$$​ y $$z_2=5-2i$$, calcula $$2z_1+3z_2$$​​

​$$2z_1+3z_2=2(2+3i)+3(5-2i)=4+6i+15-6i=19$$​​

La solución es el número real $$\underline{19}$$​.

Multiplicación de números complejos

Se aplica la propiedad distributiva.

​$$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$​​

Ejemplo

Calcula el producto de estos dos números complejos: $$(-5+3i)\cdot(4-3i)$$​

​$$(-5+3i)\cdot(4-3i)=(-5\cdot4-3\cdot(-3))+(-5\cdot(-3)+3\cdot4)i=(-20+9)+(15+12)i=-11+27i$$​​

La solución es el número complejo $$\underline{-11+27i}$$​.

Potencia de números complejos

Tienes que realizar una multiplicación tantas veces como indique el exponente. Cuando está elevado al cuadrado puedes aplicar las identidades notables.

Ejemplo

Calcula el cuadrado de este número complejo: $$6+5i$$​

​$$(6+5i)^2=6^2+2\cdot6\cdot5i+(5i)^2=36+60i+25(-1)=11+60i$$​​

El resultado es $$\underline{11+60i}$$​.

​

Cociente de números complejos

Se resuelve como una fracción y se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

​$$\cfrac{a+bi}{c+di}=\cfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\cfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\cfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\cfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\ i$$​​

Ejemplo

Resuelve la división de $$\cfrac{z_1}{z_2}$$ si $$z_1=2+4i$$ y $$z_2=4-3i$$

$$\cfrac{2+4i}{4-3i}=\cfrac{2\cdot4+4\cdot(-3)}{4^2+(-3)^2}+\cfrac{4\cdot4-2\cdot(-3)}{4^2+(-3)^2}\ i=\cfrac{-4}{25}+\cfrac{22}{25}\ i$$​​

La solución de este cociente es $$\underline{\cfrac{-4}{25}+\cfrac{22}{25}\ i}$$​.

Potencias de $$\bf i$$​​

Las potencias de $$i$$​ dan cuatro resultados que se repiten cíclicamente.