Inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior

Inecuaciones de segundo orden

Definición

Un sistema de inecuaciones de segundo orden es un conjunto de inecuaciones que tienen una incógnita elevada al cuadrado.

Procedimiento

1.	Obtén un polinomio de segundo grado en un miembro y en el otro un cero.
2.	Factoriza el polinomio de segundo grado de la siguiente forma: $a(x - r_1)(x - r_2)$
3.	Estudia el signo de cada factor en las zonas en las que las raíces dividen la recta real y determina el signo del polinomio.
4.	Incluye o no en la solución las raíces, esto dependerá del tipo de desigualdad.

Ejemplo

Resuelve la inecuación $2x^2+x\leq x^2+2x+2$ 

Primero, obtén un polinomio de segundo grado en un lado:

$x^2-x-2\leq 0$ 

Después, factoriza:

${(x + 1)(x - 2)} \leq 0$

Por último, estudia el signo del polinomio en los intervalos de las raíces:

	$(-\infty , - 1)$	$(-1, 2)$	$(2 , +\infty)$
${x + 1}$	-	+	+
${x - 2}$	-	-	+
${(x + 1)}{(x - 2)}$	+	-	+

Por tanto, la solución es el conjunto de números que cumplen la desigualdad ${(x + 1)(x - 2)} \leq 0$ , $\underline{{x} \in {[-1 , 2]}}$  .

Inecuaciones polinómicas

Las inecuaciones polinómicas de grado superior se resuelven de manera parecida.

Ejemplo

Resuelve la inecuación $x^3+2x+x\leq x^2 + 2x+1$ 

Primero, obtén un polinomio de segundo grado en un lado:

$x^2+(2x-x^2)+(x-2x)-1\leq0$ 

$x^3+x^2-x-1\leq0$ 

Segundo, factoriza:

${(x - 1)(x + 1)}^2 \leq 0$ 

Tercero, estudia el signo del polinomio en los intervalos de las raíces:

	$(-\infty , - 1)$	$(-1, 1)$	$(1 , +\infty )$
${(x + 1)}^2$	+	+	+
${x - 1}$	-	-	+
${(x - 1)(x + 1)}^2$	-	-	+

Por último, la solución es el conjunto de números que cumplen la desigualdad ${(x - 1)(x + 1)}^2 \leq 0$ , por lo que la solución será $\underline{{x} \in (-\infty {,-1]} \cup {[-1 , 1]}}$