Inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior
Inecuaciones de segundo orden
Definición
Un sistema de inecuaciones de segundo orden es un conjunto de inecuaciones que tienen una incógnita elevada al cuadrado.
Procedimiento
1. | Obtén un polinomio de segundo grado en un miembro y en el otro un cero. |
2. | Factoriza el polinomio de segundo grado de la siguiente forma: a(x−r1)(x−r2) |
3. | Estudia el signo de cada factor en las zonas en las que las raíces dividen la recta real y determina el signo del polinomio. |
4. | Incluye o no en la solución las raíces, esto dependerá del tipo de desigualdad. |
Ejemplo
Resuelve la inecuación 2x2+x≤x2+2x+2
Primero, obtén un polinomio de segundo grado en un lado:
x2−x−2≤0
Después, factoriza:
(x+1)(x−2)≤0
Por último, estudia el signo del polinomio en los intervalos de las raíces:
| (−∞,−1) | | (2,+∞) |
| - | + | + |
| - | - | + |
(x+1)(x−2) | + | - | + |
Por tanto, la solución es el conjunto de números que cumplen la desigualdad (x+1)(x−2)≤0, x∈[−1,2] .
Inecuaciones polinómicas
Las inecuaciones polinómicas de grado superior se resuelven de manera parecida.
Ejemplo
Resuelve la inecuación x3+2x+x≤x2+2x+1
Primero, obtén un polinomio de segundo grado en un lado:
x2+(2x−x2)+(x−2x)−1≤0
x3+x2−x−1≤0
Segundo, factoriza:
(x−1)(x+1)2≤0
Tercero, estudia el signo del polinomio en los intervalos de las raíces:
| (−∞,−1) | | (1,+∞) |
(x+1)2 | +
| +
| +
|
| -
| -
| +
|
(x−1)(x+1)2 | -
| -
| +
|
Por último, la solución es el conjunto de números que cumplen la desigualdad (x−1)(x+1)2≤0, por lo que la solución será x∈(−∞,−1]∪[−1,1]