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Inecuaciones

Inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior

Inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior

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Docente: Antonio

Resumen

Inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior

Inecuaciones de segundo orden

Definición

Un sistema de inecuaciones de segundo orden es un conjunto de inecuaciones que tienen una incógnita elevada al cuadrado.


Procedimiento

​​1.

Obtén un polinomio de segundo grado en un miembro y en el otro un cero.

2.

Factoriza el polinomio de segundo grado de la siguiente forma:  

  a(xr1)(xr2)a(x - r_1)(x - r_2)​​

3.

Estudia el signo de cada factor en las zonas en las que las raíces dividen la recta real y determina el signo del polinomio.

4.

Incluye o no en la solución las raíces, esto dependerá del tipo de desigualdad.


Ejemplo

Resuelve la inecuación 2x2+xx2+2x+22x^2+x\leq x^2+2x+2


Primero, obtén un polinomio de segundo grado en un lado:

x2x20x^2-x-2\leq 0​​

Después, factoriza:

(x+1)(x2)0{(x + 1)(x - 2)} \leq 0


Por último, estudia el signo del polinomio en los intervalos de las raíces:



(,1)(-\infty , - 1)​​
(1,2)(-1, 2)​​
(2,+)(2 , +\infty)​​
x+1{x + 1}​​
-
+
+
x2{x - 2}​​
-
-
+
(x+1)(x2){(x + 1)}{(x - 2)}​​
+
-
+


Por tanto, la solución es el conjunto de números que cumplen la desigualdad (x+1)(x2)0{(x + 1)(x - 2)} \leq 0x[1,2]\underline{{x} \in {[-1 , 2]}} .


Inecuaciones polinómicas

Las inecuaciones polinómicas de grado superior se resuelven de manera parecida. 


Ejemplo

Resuelve la inecuación x3+2x+xx2+2x+1x^3+2x+x\leq x^2 + 2x+1


Primero, obtén un polinomio de segundo grado en un lado:

x2+(2xx2)+(x2x)10 x^2+(2x-x^2)+(x-2x)-1\leq0​​

x3+x2x10x^3+x^2-x-1\leq0​​

Segundo, factoriza:

(x1)(x+1)20{(x - 1)(x + 1)}^2 \leq 0​​

Tercero, estudia el signo del polinomio en los intervalos de las raíces:



(,1)(-\infty , - 1)​​
(1,1)(-1, 1)​​
(1,+)(1 , +\infty )​​
(x+1)2{(x + 1)}^2​​
+
+
+
x1{x - 1}​​
-
-
+
(x1)(x+1)2{(x - 1)(x + 1)}^2​​
-
-
+


Por último, la solución es el conjunto de números que cumplen la desigualdad (x1)(x+1)20{(x - 1)(x + 1)}^2 \leq 0, por lo que la solución será x(,1][1,1]\underline{{x} \in (-\infty {,-1]} \cup {[-1 , 1]}}


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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Por qué el infinito no se incluye en la solución?

¿Cuándo hay que incluir una raíz?

¿Cuántas raíces tiene un polinomio?

¿Qué es una raíz del polinomio?

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