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Matemáticas

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

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Resumen

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Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Sistemas de inecuaciones

Definición

  • Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
  • La solución del sistema de inecuaciones es el conjunto de números reales que satisfacen todas las inecuaciones a la vez.


procedimiento

​​1.

Resuelve cada inecuación.

2.

Halla la intersección de las soluciones obtenidas.

​

Ejemplo

​Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones.


{9x2−100≥05x−10≤4x\left\{ \begin{array}{ l } 9x^2-100 \geq 0 \\ 5x - 10 \leq 4x \end{array} \right.


Primero resuelves cada inecuación.


​9x2−100≥0→9x2≥100→x2≥1009→x≥±1039x^2-100\geq0 \to 9x^2\geq 100 \to x^2\geq\cfrac{100}{9} \to x \geq \pm \cfrac{10}{3}​​
​x∈(−∞,−103)∪[103,∞) x \in(- \infty, -\cfrac{10}{3}) \cup[\cfrac{10}{3},\infty)​​
​5x−10≤4x→x≤105x-10 \leq 4x \to x\leq10 ​​
​x∈(−∞,10]x \in (-\infty,10]​​


La solución del sistema será el intervalo de soluciones que satisfacen ambas inecuaciones a la vez:

​x∈[103,10]‾\underline{x \in [ \cfrac{10}{3},10]}


Sistemas de inecuaciones incompatibles

Definición

Son sistemas que no tienen solución, es decir, será imposible que todas las inecuaciones se cumplan a la vez.


Ejemplo

​{9x2−100≥05x−10≥4x\left\{ \begin{array}{ l } 9x^2-100 \geq 0 \\ 5x - 10 \geq 4x \end{array} \right.​​


Este ejemplo es muy similar al anterior, únicamente cambia la desigualdad de la segunda inecuación. 


Los nuevos intervalos de soluciones serán x∈(−∞,−103)∪[103,∞) x \in(- \infty, -\cfrac{10}{3}) \cup[\cfrac{10}{3},\infty) y x∈[10,∞)x \in [10, \infty). 


Como puedes ver no existe ningún intervalo en el que se cumplen ambas inecuaciones a la vez, por lo que este sistema no tiene solución.


¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Sobre la lección

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Sobre la lección

Intervalos y entornos de números reales

Sobre la lección
Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

  • Pregunta: ¿Cómo se resuelve un sistema de inecuaciones?

    Respuesta: Primero debes resolver cada inecuación por separado. Después debes analizar el conjunto de soluciones que cumplen todas las inecuaciones a la vez.

  • Pregunta: ¿Cómo debe ser la solución de un sistema de inecuaciones?

    Respuesta: La solución de un sistema de inecuaciones debe cumplir a la vez todas la inecuaciones del sistema.

  • Pregunta: ¿Qué es un sistema de inecuaciones?

    Respuesta: Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones.

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Ejercicios

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