Forma polar y trigonométrica

Componentes de un número complejo

La representación en el plano de un número $$z=a+bi$$​ (forma binomial) como vectores con origen $$O(0,0)$$ permite elaborar estos conceptos:

• Afijo de $$z$$​: el punto $$P(a,b)$$​ en el plano.
• Módulo de $$z$$​: el módulo del vector. Se calcula $$\vert z\vert = \sqrt{a^2+b^2}$$​.
• Argumento de $$z$$​: el ángulo formado entre el semieje real positivo y la semirrecta $$\overline{OP}$$​. Se representa Arg $$z$$ y se calcula $$\tg\alpha=\cfrac{a}{b}$$​.

Forma polar

Un número complejo se puede expresar en forma polar, $$z=r_\alpha$$, donde $$r$$ es el módulo del vector y $$\alpha$$​ es el ángulo del vector.

Ejemplo

Expresa el número complejo $$1+2i$$ en forma polar.

​$$r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$$​

$$\tg\alpha=\cfrac{1}{2}\implies \alpha=\arctg{\cfrac{1}{2}}=3,605$$​​

​$$z=\sqrt5_{3,605}$$​​

El número escrito en forma polar es $$\underline{z=\sqrt5_{3,605}}$$​

Nota: El ángulo está expresado en radianes, pero también puedes hacerlo en grados sexagesimales.

Producto y potencias en forma polar

Para multiplicar dos números $$z_1=r_\alpha$$​ y $$z_2=s_\beta$$​ sólo tienes que multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos.

​$$z_1\cdot z_2=(r_\alpha)(s_\beta)=rs(\cos({\alpha+\beta})+i\sin({\alpha+\beta}))$$​​

Para calcular la $$n$$​ potencia de un número $$z=r_\alpha$$​ se aplica la fórmula de De Moivre:

​$$z^n=r^n(\cos{n\alpha}+\sin{n\beta})$$​​

Forma trigonométrica

La forma trigonométrica se convierte a través de la binomial de esta manera:

​$$z=a+bi=r\cos\alpha+(r\cos\alpha)i=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$$​​

Ejemplo

Expresa el número complejo $$1-i$$ en forma trigonométrica.

​$$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$$​​

​$$\alpha=\arctg{}\cfrac{-1}{1}=\cfrac{7\pi}{4}$$​​

​$$z=\sqrt2(\cos\cfrac{7\pi}{4}+i\sin\cfrac{7\pi}{4})$$​​

El número escrito en forma trigonométrica es ​$$\underline{z=\sqrt2\left (\cos\cfrac{7\pi}{4}+i\sin\cfrac{7\pi}{4}\right )}$$​