Forma polar y trigonométrica
Componentes de un número complejo
La representación en el plano de un número z=a+bi (forma binomial) como vectores con origen O(0,0) permite elaborar estos conceptos:
- Afijo de z: el punto P(a,b) en el plano.
- Módulo de z: el módulo del vector. Se calcula ∣z∣=a2+b2.
- Argumento de z: el ángulo formado entre el semieje real positivo y la semirrecta OP. Se representa Arg z y se calcula tgα=ba.
Forma polar
Un número complejo se puede expresar en forma polar, z=rα, donde r es el módulo del vector y α es el ángulo del vector.
Ejemplo
Expresa el número complejo 1+2i en forma polar.
r=12+22=5
tgα=21⟹α=arctg21=3,605
z=53,605
El número escrito en forma polar es z=53,605
Nota: El ángulo está expresado en radianes, pero también puedes hacerlo en grados sexagesimales.
Producto y potencias en forma polar
Para multiplicar dos números z1=rα y z2=sβ sólo tienes que multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos.
z1⋅z2=(rα)(sβ)=rs(cos(α+β)+isin(α+β))
Para calcular la n potencia de un número z=rα se aplica la fórmula de De Moivre:
zn=rn(cosnα+sinnβ)
Forma trigonométrica
La forma trigonométrica se convierte a través de la binomial de esta manera:
z=a+bi=rcosα+(rcosα)i=r(cosα+isinα)
Ejemplo
Expresa el número complejo 1−i en forma trigonométrica.
r=12+12=2
α=arctg1−1=47π
z=2(cos47π+isin47π)
El número escrito en forma trigonométrica es z=2(cos47π+isin47π)