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Ecuaciones con expresiones logarítmicas

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Vídeo Explicativo

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Docente: Jorge

Resumen

Ecuaciones con expresiones logarítmicas

Resolver ecuaciones logarítmicas

Definición

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita se encuentra realizando alguna operación en un logaritmo. Esta incógnita se puede encontrar: 

Multiplicando
​xlog103=log109xlog_{10}3=log_{10}9xlog10​3=log10​9​​

eN LA BASE
​logx4=2log_{x}4=2logx​4=2​​

EN EL ARGUMENTO
​log(x+1)=1−log(5)log(x+1)=1-log(5)log(x+1)=1−log(5)​​


Recuerda que:  logan=x ⟹ ax=nlog_an=x\implies a^x=n loga​n=x⟹ax=n es una ecuación logarítmica que se resolvía de manera inmediata aplicando las propiedades de los logaritmos.


Resolución de ecuaciones logarítmicas

Para resolver ecuaciones logarítmicas es necesario dominar las propiedades de los logaritmos. 


PROCEDIMIENTO

1.
Establece una base común a todos los logaritmos, si no la tuvieran, mediante un cambio de base:
 logbA=lognAlognblog_bA=\cfrac{log_nA}{log_nb}logb​A=logn​blogn​A​​​
2.
Aplica las propiedades de los logaritmos para llegar a una ecuación de la forma:
logA=logB⟺A=Blog{A}=log{B}\Longleftrightarrow A=BlogA=logB⟺A=B​​
3.
Realiza el cambio de variable si fuese necesario y despeja la xxx​: 
z=logxz=log{x}z=logx ​
4.
Comprueba que la solución es válida en la ecuación original. 


Recuerda que: No existe el logaritmo de cero ni de números negativos, por eso debes comprobar si la solución obtenida es válida.


Ejemplo
Resuelve log3(x+1)=log9(x+3)log_3(x+1)=log_9(x+3)log3​(x+1)=log9​(x+3)
​​
Realizando un cambio de base y aplicando propiedades de los logaritmos:
​log9(x+3)=log3(x+3)log3(9)=log3(x+3)2log_9(x+3)=\cfrac{log_3(x+3)}{log_3(9)}=\cfrac{log_3(x+3)}{2}log9​(x+3)=log3​(9)log3​(x+3)​=2log3​(x+3)​
​=log3(x+1)=log3(x+3)2 ⟹ 2log3(x+1)=log3(x+3) ⟹ log3(x+1)2=log3(x+3)=log_3(x+1)=\cfrac{log_3(x+3)}{2}\implies 2log_3(x+1)=log_3(x+3)\implies \cancel{log}_3(x+1)^2=\cancel{log}_3(x+3)=log3​(x+1)=2log3​(x+3)​⟹2log3​(x+1)=log3​(x+3)⟹log​3​(x+1)2=log​3​(x+3)​​
​​=(x+1)2=x+3 ⟹ x2+x−2=0 ⟹ {x1=1x2=−2=(x+1)^2=x+3\implies x^2+x-2=0\implies \begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-2 \end{cases}=(x+1)2=x+3⟹x2+x−2=0⟹{x1​=1x2​=−2​ 

Al comprobar soluciones se observa que x2=−2x_2=-2x2​=−2 da lugar a logaritmos negativos.
La única solución es x1=1‾\underline {x_1=1}x1​=1​ 
​​


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Logaritmos: Propiedades y operaciones
Logaritmos: Propiedades y operaciones

Resumen

Objetivos

    Resumen

    Preguntas frecuentes

    ¿Cómo saber cuándo realizar un cambio de base en ecuaciones logarítmicas?

    En las ecuaciones logarítmicas se realiza un cambio de base cuando las bases de los distintos logaritmos que intervienen en la ecuación sean diferentes entre sí, con el fin de poder aplicar el resto de propiedades logarítmicas.

    ¿Cómo resuelvo una ecuación logarítmica?

    1. Identifica las bases de los logaritmos, y haz un cambio de base si es necesario. 2. Aplicar las propiedades de los logaritmos y reducir la ecuación de manera que solo haya un logaritmo en cada miembro. 3. Aplicando LogA=LogB -> A=B se puede calcular el valor de la incógnita. 4. Comprobar que el valor de la incógnita es verdadero, pues no están definidos los logaritmos de 0 o números negativos.

    ¿Qué es una ecuación logarítmica?

    Una ecuación logarítmica se caracteriza por tener la incógnita multiplicando, o bien en la base o argumento de un logaritmo.

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