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Ecuaciones con expresiones exponenciales

Ecuaciones con expresiones exponenciales

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Docente: Jorge

Resumen

Ecuaciones con expresiones exponenciales

Ecuaciones exponenciales

​​Definición

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente.


Ejemplo

3x+2+9x=273^{x+2}+9^{x}=27​ 


Resolución de ecuaciones exponenciales

La manera de resolver una ecuación exponencial varía según el caso en el que te encuentres. Se pueden clasificar en:


PUEDEN EXPRESARSE EN LA MISMA BASE

2x+4=162^{x+4}=16​​

no pueden expresarse en la misma base

 102x+10x=710^{2x}+10^x=7


Recuerda que: Normalmente no se identifica el caso en el que te encuentras hasta haber avanzado en la resolución de la ecuación. 


Ecuaciones exponenciales que pueden expresarse en la misma base.

La resolución de este caso se basa en la siguiente propiedad de las potencias:

an=am n=m      a /=1,0,1a^n=a^m \implies n=m \space\space\space\space\space\space \forall a\mathrlap{\,/}{=}-1,0,1  


Ejemplo

Resuelve la ecuación 10x23=0,0110^{x^2-3}=0,01

​​

Se pone la misma base en ambos miembros

10x23=10210^{x^2-3}=10^{-2} 

Aplicando las propiedades de las potencias

x23=2 x21=0x^2-3=-2\implies x^2-1=0

Y resolviendo la ecuación de segundo grado:

x=+1,x=1\underline{x=+1}, \underline{x=-1} 


Ecuaciones exponenciales que no pueden expresarse en la misma base

En este caso será necesario aplicar un cambio de variable o logaritmos a ambos lados de la ecuación. 


Ejemplo

Resuelve la ecuación 2x+1=3x+32^{x+1}=3^{x+3}

 

Aplicando propiedades de las potencias:

2x2=3x33 2x3x=332 (23)x=2722^x·2=3^x·3^3\implies \cfrac{2^x}{3^x}=\cfrac{3^3}{2}\implies \bigg(\cfrac{2}{3}\bigg)^x=\cfrac{27}{2}  


Aplicando logaritmos en ambos miembros:

xlog23=log272 x=log272log23 x=2,449x\cdot \log\cfrac{2}{3}=\log\cfrac{27}{2}\implies x=\cfrac{\log\cfrac{27}{2}}{\log\cfrac{2}{3}}\implies \underline{x=-2,449}​​

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Preguntas frecuentes

¿Cómo resuelvo ecuaciones exponenciales con la misma base?

¿Cómo resuelvo las ecuaciones exponenciales?

¿Qué es una ecuación exponencial?

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