Ecuaciones polinómicas de tercer grado o superior

En general

Una ecuación polinómica es aquella en la que se puede agrupar en un miembro de la ecuación un polinomio de tal manera que tenga la siguiente forma:

$a_nx^n+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$

Donde $a_n, \dots,a_2, a_1, a_0$ son los coeficientes del polinomio de grado $n$ .

Recuerda que: Una ecuación polinómica de grado $n$ tiene como máximo $n$ soluciones.

Resolver ecuaciones polinómicas

Para resolver ecuaciones polinómicas se debe factorizar el polinomio y determinar sus raíces. Cuando $P(x)$ no tiene término independiente, la ecuación se conoce como homogénea y el $0$ siempre será una solución.

PROCEDIMIENTO

1.	Sacar factor común.
2.	Aplica la regla de Ruffini.
3.	Comprueba tus soluciones

Ejemplo

Resuelve la ecuación:

$2x^5+x^4-8x^3-x^2+6x=0$ 

En primer lugar, saca factor común:

$x(2x^4+x^3-8x^2-x+6)=0$ 

A continuación, aplica la regla de Ruffini:

$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 1& -8 & -1 & 6\\ 1 & &2 & 3 & -5& -6 \\ \hline & 2&3 & -5 &-6 &0 \end{array}$ 

Vuelve a aplicar la regla de Ruffini:

$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 3& -5 & -6\\ -1 & &-2 & -1 & 6\\ \hline & 2&1 & -6 &0\end{array}$ 

A continuación, puedes seguir aplicando Ruffini o emplear la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

$2x^2+x-6=0$

$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times -6}}{2\times 2}$

$x_4=\cfrac{-1+ \sqrt{1^2-4\times2\times -6}}{2\times 2}=\cfrac{3}{2}$ y $x_5=\cfrac{-1- \sqrt{1^2-4\times2\times -6}}{2\times 2}=-2$ 

Por último, agrupamos las soluciones de la ecuación:

$\text{Soluciones}\begin{cases} {x_1=0}\\ {x_2=1} \\ {x_3=-1} \\ {x_4=\cfrac{3}{2}}\\ {x_5=-2} \end{cases}$