Ecuaciones polinómicas de tercer grado o superior​​

En general

Una ecuación polinómica es aquella en la que se puede agrupar en un miembro de la ecuación un polinomio de tal manera que tenga la siguiente forma:

​$$a_nx^n+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$$ 

Donde $$a_n, \dots,a_2, a_1, a_0$$ son los coeficientes del polinomio de grado $$n$$. 

Recuerda que: Una ecuación polinómica de grado $$n$$ tiene como máximo $$n$$ soluciones.

Resolver ecuaciones polinómicas

Para resolver ecuaciones polinómicas se debe factorizar el polinomio y determinar sus raíces. Cuando $$P(x)$$ no tiene término independiente, la ecuación se conoce como homogénea y el $$0$$ siempre será una solución.​

​​​​​​PROCEDIMIENTO

Ejemplo 

Resuelve la ecuación:

 $$2x^5+x^4-8x^3-x^2+6x=0$$​

En primer lugar, saca factor común:

$$x(2x^4+x^3-8x^2-x+6)=0$$​​

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A continuación, aplica la regla de Ruffini:

$$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 1& -8 & -1 & 6\\ 1 & &2 & 3 & -5& -6 \\ \hline & 2&3 & -5 &-6 &0 \end{array}$$​

Vuelve a aplicar la regla de Ruffini:

$$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 3& -5 & -6\\ -1 & &-2 & -1 & 6\\ \hline & 2&1 & -6 &0\end{array}$$​​​

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A continuación, puedes seguir aplicando Ruffini o emplear la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

$$2x^2+x-6=0$$

​$$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times -6}}{2\times 2}$$​​

  $$x_4=\cfrac{-1+ \sqrt{1^2-4\times2\times -6}}{2\times 2}=\cfrac{3}{2}$$ y $$x_5=\cfrac{-1- \sqrt{1^2-4\times2\times -6}}{2\times 2}=-2$$​

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Por último, agrupamos las soluciones de la ecuación:

​$$\text{Soluciones}\begin{cases} {x_1=0}\\ {x_2=1} \\ {x_3=-1} \\ {x_4=\cfrac{3}{2}}\\ {x_5=-2} \end{cases}$$