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Radicación de números complejos

Fórmula matemática

• La raíz $$n$$​​-ésima de un número complejo tiene tantos resultados como indique la $$n$$. El módulo de $$\sqrt[n]{r_\alpha}$$​ es $$\sqrt[n]{r}$$​ en todas sus soluciones, pero el argumento es distinto.
• Las raíces de un número complejo $$r_\alpha$$​ son los números complejos $$s_\beta$$​ tales que $$s=\sqrt[n]{r}$$​ y $$\beta=\cfrac{\alpha +360º\cdot k}{n}$$​​
• Como todas las soluciones tienen el mismo módulo, éstas se encuentran sobre una circunferencia de radio $$\sqrt[n]{r}$$. La separación entre las soluciones es $$\cfrac{360º}{n}$$, por lo que forman un polígono regular de $$n$$​ lados.

Ejemplo

Las posibles soluciones de $$\sqrt[2]{4_\alpha}$$ se encuentran en una circunferencia de radio $$2$$ centrada en $$(0,0)$$.

Si $$n=3$$​ las soluciones formarían un triángulo, si $$n=4$$​ formarían un cuadrado y así sucesivamente.

Ejemplo

Calcula y representa gráficamente $$\sqrt[4]{1+i}$$.

Primero expresa el número en forma polar:

$$\sqrt[4]{1+i}=\sqrt[4]2_{45}$$​​

Ahora tienes que calcular los ángulos en los que se encuentra cada una de las cuatro soluciones:

​$$\cfrac{45º+360ºk}{4}=11,25º+90ºk$$​​

Como es una raíz cuarta, $$k=(0,1,2,3)$$​. por lo tanto, los ángulos de las cuatro soluciones son:

$$\beta_1=11,25º+90º\cdot0=11,25º$$​​

​$$\beta_2=11,25º+90º\cdot1=101,25º$$​​

​$$\beta_3=11,25º+90º\cdot2=191,25º$$​​

​$$\beta_4=11,25º+90º\cdot3=281,25º$$​​

​

Los cuatro resultados de $$\sqrt[4]{1+i}$$​  son: $$\underline{\sqrt[4]2_{11,25},\sqrt[4]2_{101,25},\sqrt[4]2_{191,25},\sqrt[4]2_{281,25}}$$.