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Radicación de números complejos

Radicación de números complejos

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Docente: Pablo

Resumen


Radicación de números complejos

Fórmula matemática

  • La raíz nn​​-ésima de un número complejo tiene tantos resultados como indique la nn. El módulo de rαn\sqrt[n]{r_\alpha}​ es rn\sqrt[n]{r}​ en todas sus soluciones, pero el argumento es distinto.
  • Las raíces de un número complejo rαr_\alpha​ son los números complejos sβs_\beta​ tales que s=rns=\sqrt[n]{r}​ y β=α+360ºkn\beta=\cfrac{\alpha +360º\cdot k}{n}​​
  • Como todas las soluciones tienen el mismo módulo, éstas se encuentran sobre una circunferencia de radio rn\sqrt[n]{r}. La separación entre las soluciones es 360ºn\cfrac{360º}{n}, por lo que forman un polígono regular de nn​ lados.


Ejemplo

Las posibles soluciones de 4α2\sqrt[2]{4_\alpha} se encuentran en una circunferencia de radio 22 centrada en (0,0)(0,0).

Matemáticas; Números Complejos; 1. Bachillerato; Radicación de números complejos

Si n=3n=3​ las soluciones formarían un triángulo, si n=4n=4​ formarían un cuadrado y así sucesivamente.


Ejemplo

Calcula y representa gráficamente 1+i4\sqrt[4]{1+i}.

Primero expresa el número en forma polar:


1+i4=2445\sqrt[4]{1+i}=\sqrt[4]2_{45}​​


Ahora tienes que calcular los ángulos en los que se encuentra cada una de las cuatro soluciones:

45º+360ºk4=11,25º+90ºk\cfrac{45º+360ºk}{4}=11,25º+90ºk​​


Como es una raíz cuarta, k=(0,1,2,3)k=(0,1,2,3)​. por lo tanto, los ángulos de las cuatro soluciones son:

β1=11,25º+90º0=11,25º\beta_1=11,25º+90º\cdot0=11,25º​​

β2=11,25º+90º1=101,25º\beta_2=11,25º+90º\cdot1=101,25º​​

β3=11,25º+90º2=191,25º\beta_3=11,25º+90º\cdot2=191,25º​​

β4=11,25º+90º3=281,25º\beta_4=11,25º+90º\cdot3=281,25º​​


Los cuatro resultados de 1+i4\sqrt[4]{1+i}​  son: 2411,25,24101,25,24191,25,24281,25\underline{\sqrt[4]2_{11,25},\sqrt[4]2_{101,25},\sqrt[4]2_{191,25},\sqrt[4]2_{281,25}}.


Matemáticas; Números Complejos; 1. Bachillerato; Radicación de números complejos


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Preguntas frecuentes

¿Qué quiere decir que las soluciones forman un polígono?

¿Cuántas soluciones tiene la raíz de un número complejo?

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