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Teorema del seno, coseno y tangente

Teorema del seno, coseno y tangente

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Docente: Teresa

Resumen

Teorema del seno, coseno y tangente

Los tres teoremas que verás a continuación son válidos y se pueden aplicar en cualquier tipo de triángulo.


Teorema del seno

El Teorema del seno verifica que en cualquier triángulo ABCABC se cumple:

Matemáticas; Trigonometría; 1. Bachillerato; Teorema del seno, coseno y tangente
asenA^=bsenB^=csenC^\cfrac{a}{sen\hat{A}}=\cfrac{b}{sen\hat{B}}=\cfrac{c}{sen\hat{C}}​​

​​

Ejemplo

Resuelve el triángulo tal que b=5 cmb=5\space cm,  B^=30º\hat{B}=30º y A^=120º\hat{A}=120º


A^+B^+C^=180º120º+30º+C^=180ºC^=30º\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180º \newline120º+30º+\hat{C}=180º\newline \hat{C}=30º


asenA^=bsenB^\cfrac{a}{sen\hat{A}}=\cfrac{b}{sen\hat{B}}​​
a=b senA^senB^=5sen120ºsen30º=8,66 cma=\cfrac{b\space sen\hat{A}}{sen\hat{B}}=\cfrac{5\cdot sen120º}{sen30º}= \underline{8,66 \space \rm cm}​​


Teorema del coseno

El Teorema del coseno verifica que en cualquier triángulo ABCABC se cumple:

Matemáticas; Trigonometría; 1. Bachillerato; Teorema del seno, coseno y tangente
a2=b2+c22bc cosA^b2=a2+c22ac cosB^c2=a2+b22ab cosC^a^2=b^2+c^2-2bc\space cos \hat{A} \newline b^2=a^2+c^2-2ac\space cos \hat{B} \newline c^2=a^2+b^2-2ab\space cos \hat{C}​​

​​

Ejemplo

Calcula la medida del lado cc del triángulo sabiendo que a=9 cma=9\space cm, b=7 cmb=7\space cm y C^=60ºy \space \hat{C}=60º

Matemáticas; Trigonometría; 1. Bachillerato; Teorema del seno, coseno y tangente

c2=a2+b22ab cosC^=81+49126 cos60º=67c^2=a^2+b^2-2ab\space cos\hat{C}= 81+49-126\space cos 60º=67


c=67 cmc=\underline{\sqrt{67} \space \rm cm}​​​​


Teorema de la tangente

El Teorema de la tangente verifica que en cualquier triángulo ABCABC se cumple:


a+bab=\cfrac{a+b}{a-b}=tg(A^+B^2)tg(A^B^2)\cfrac{tg\left ( \cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{tg\left ( \cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}


Ejemplo

Calcula la medida del lado bb  del triángulo. Sabiendo que a=5 cma= 5\space cm, B^=30º\hat{B}= 30º y C^=60ºy\space \hat{C}=60º

Matemáticas; Trigonometría; 1. Bachillerato; Teorema del seno, coseno y tangente
5b5+b=tg(90º30º2)tg(90º+30º2)\cfrac{5-b}{5+b}=\cfrac{tg\left ( \cfrac {90º-30º}{2}\right)}{tg\left ( \cfrac{{90º}+{30º}}{2}\right)}​​
 5b5+b=tg30ºtg60º=13 cm\space \cfrac{5-b}{5+b}=\cfrac{tg 30º}{tg60º}= \underline{\cfrac{1}{3}\space \rm cm}​​


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Preguntas frecuentes

¿Siempre se cumplen los tres teoremas?

¿Para qué tipo de triángulos son válidos los teoremas del seno, del coseno y de la tangente?

Beta

Soy Vulpy, ¡tu compañero de estudio de IA! Aprendamos juntos.