Teorema del seno, coseno y tangente

Los tres teoremas que verás a continuación son válidos y se pueden aplicar en cualquier tipo de triángulo.

Teorema del seno

El Teorema del seno verifica que en cualquier triángulo $$ABC$$ se cumple:

​$$\cfrac{a}{sen\hat{A}}=\cfrac{b}{sen\hat{B}}=\cfrac{c}{sen\hat{C}}$$​​

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Ejemplo

Resuelve el triángulo tal que $$b=5\space cm$$,  $$\hat{B}=30º$$ y $$\hat{A}=120º$$

​$$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180º \newline120º+30º+\hat{C}=180º\newline \hat{C}=30º$$

Teorema del coseno

El Teorema del coseno verifica que en cualquier triángulo $$ABC$$ se cumple:

​$$a^2=b^2+c^2-2bc\space cos \hat{A} \newline b^2=a^2+c^2-2ac\space cos \hat{B} \newline c^2=a^2+b^2-2ab\space cos \hat{C}$$​​

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Ejemplo

Calcula la medida del lado $$c$$ del triángulo sabiendo que $$a=9\space cm$$, $$b=7\space cm$$ $$y \space \hat{C}=60º$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\space cos\hat{C}= 81+49-126\space cos 60º=67$$

$$c=\underline{\sqrt{67} \space \rm cm}$$​​​​

Teorema de la tangente

El Teorema de la tangente verifica que en cualquier triángulo $$ABC$$ se cumple:

$$\cfrac{a+b}{a-b}=$$$$\cfrac{tg\left ( \cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{tg\left ( \cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}$$

Ejemplo

Calcula la medida del lado $$b$$  del triángulo. Sabiendo que $$a= 5\space cm$$, $$\hat{B}= 30º$$ $$y\space \hat{C}=60º$$

​$$\cfrac{5-b}{5+b}=\cfrac{tg\left ( \cfrac {90º-30º}{2}\right)}{tg\left ( \cfrac{{90º}+{30º}}{2}\right)}$$​​

​$$\space \cfrac{5-b}{5+b}=\cfrac{tg 30º}{tg60º}= \underline{\cfrac{1}{3}\space \rm cm}$$​​