Ecuaciones polinómicas bicuadradas

Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado que puede escribirse de la siguiente forma:

$ax^4+bx^2+c=0;$ siendo $a\not =0$

Las ecuaciones bicuadradas pueden resolverse mediante la regla de Ruffini o aplicando un cambio de variable, siendo este último método el más utilizado.

Resolución de ecuaciones bicuadradas

PROCEDIMIENTO

1.	Aplicar un cambio de variable, $x^2=t$ .
2.	Sustituye en la ecuación bicuadrada $x^2$ por $t$ y $x^4$ por $t^2.$
3.	Resuelve la ecuación de segundo grado empleando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado.
4.	Tras calcular las soluciones de la ecuación de segundo grado, calcula las soluciones de la ecuación bicuadrada sabiendo que $x=\pm \sqrt{t}.$

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación: $\it x^4-13 x^2+36=0$ .

En primer lugar, se realiza un cambio de variable:

$x^2=t$

De modo que la ecuación queda como:

$t^2-13t+36=0$

A continuación, se resuelve como una ecuación de segundo grado:

$t=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a \times c}}{2 \times a}; t=\cfrac{13\pm\sqrt{(-13)^2-4\times 1 \times 36}}{2 \times 1}$

Primera solución de la ecuación:

$t_1=\cfrac{13+\sqrt{(-13)^2-4\times 1 \times 36}}{2 \times 1}=9$

Segunda solución de la ecuación: 

$t_2=\cfrac{13-\sqrt{(-13)^2-4\times 1 \times 36}}{2 \times 1}=4$

Por último, dado que $t=x^2$ , haciendo la raíz cuadrada calculamos las soluciones de la ecuación bicuadrada:

$x_1= + \sqrt 9= \underline 3$

$x_2= - \sqrt 9= \underline{-3}$

$x_3= + \sqrt 4= \underline 2$

$x_4= - \sqrt 4= \underline{-2}$