Inecuaciones y desigualdades: Definición y diferencias

Desigualdades

Definición

Una desigualdad se da cuando tienes dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos.

Tipos de desigualdades

Según la relación de desigualdad podemos diferenciar varios tipos de desigualdades:

$<$	Menor que
$>$	Mayor que
$\leq$	Menor o igual que
$\geq$	Mayor o igual que

Propiedades de las desigualdades

Si en ambos miembros sumas o restas por el mismo número, el sentido de la desigualdad no cambiará.

 $5<10\rightarrow 5+2<10+2\rightarrow 7<12$

Si en ambos miembros multiplicas o divides por el mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambiará.

 $5<10\rightarrow 5\times 2 <10\times2\rightarrow 10<20$

Si en ambos miembros multiplicas o divides por el mismo número negativo, el sentido de la desigualdad sí cambiará.

$5<10\rightarrow 5\times -2 >10\times -2 \rightarrow -10>-20$

Inecuaciones

Definición

Una inecuación es una desigualad entre dos expresiones algebraicas en las que intervienen incógnitas. Su solución será el conjunto de números reales que cumplen la desigualdad.

Ejemplo

${x + 1}\leq {1}$

Si pruebas con ${x = 0}$ obtendrás ${1} \leq 1$ , por lo que ${x = 0}$ sí pertenece al conjunto de soluciones.

Si pruebas con ${x = 2}$ obtendrás ${3} \leq 1$ , por lo que ${x = 2}$ no pertenece al conjunto de soluciones.

Inecuaciones equivalentes

Dos inecuaciones serán equivalentes si tienen la misma solución.

Formas de obtener inecuaciones equivalentes

Sumar o restar en ambos miembros por el mismo número.

${x -10} \geq 5$ equivalente a ${x - 10 + 5} \geq {5 + 5} \rightarrow {x - 5} \geq {10}$

Multiplicar o dividir en ambos miembros por el mismo número positivo.

${x - 10 } \geq {5}$ equivalente a $(x-10)\times5\geq 5 \times 5 \rightarrow 5x-50\geq 25$

Multiplicar o dividir en ambos miembros por el mismo número negativo y cambiando el sentido de la desigualdad.

${x - 10} \geq 5$ equivalente a $(x-10)\times(-5)\leq5\times (-5)\rightarrow -5x+50\leq-25$