Circunferencia: Elementos y ecuación general

Elementos de la circunferencia

Una circunferencia es un lugar geométrico del plano en el que los puntos están a una distancia constante del centro llamada radio. 

Ecuación general de la circunferencia 

Todas las circunferencias tienen una ecuación general de este tipo:

​$$x^2+y^2+D\cdot x+E\cdot y+F=0$$

Para llegar a ella, se pueden seguir los siguientes pasos considerando:

• ​$$P(x,y)$$ como un punto genérico del plano.
• $$C(c_1,c_2)$$ como el centro de la circunferencia.
• $$r$$ como el radio de la circunferencia.

Procedimiento​​

Centro y radio de la circunferencia 

A partir de la ecuación general de una circunferencia se pueden obtener las coordenadas del centro y del radio de la siguiente forma: 

​$$C(c_1,c_2)=\left(-\cfrac{D}{2},-\cfrac{E}{2}\right) \space \space \space \space \text{ }r=\sqrt{\cfrac{D^2}{4}+\cfrac{E^2}{4}-F}$$​​

Siempre que se cumpla que,

​$$\cfrac{D^2}{4}+\cfrac{E^2}{4}-F>0$$​​

Posiciones relativas

Posición relativa de una recta y una circunferencia

Para averiguar la posición relativa de una recta con respecto a una circunferencia se debe comparar la distancia del punto frente al radio. 

Exterior	​$$d(C,s)>r$$​​
Tangente	​$$d(C,s)=r$$​​
Secante	​$$d(C,s)<r$$​​

Posición relativa de dos circunferencias

Para averiguar la posición relativa de una circunferencia con respecto a otra se debe comparar la distancia de los centros con la suma y diferencia de los radios. 

Exteriores	$$d(C_1,C_2)>r_1+r_2$$​​
Tangentes exteriores	​$$d(C_1,C_2)=r_1+r_2$$​​
Secantes	​$$r_1-r_2<d(C_1,C_2)<r_1+r_2$$​​
TANGENTES INTERIORES	​$$d(C_1,C_2)=r_1-r_2$$​​
INTERIORES	$$d(C_1,C_2)<r_1-r_2$$​​
CONCÉNTRICAS	$$C_1=C_2$$​​