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Circunferencia: Elementos y ecuación general

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Docente: Aránzazu

Resumen

Circunferencia: Elementos y ecuación general

Elementos de la circunferencia

Una circunferencia es un lugar geométrico del plano en el que los puntos están a una distancia constante del centro llamada radio

Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Elementos y ecuación general

Ecuación general de la circunferencia 

Todas las circunferencias tienen una ecuación general de este tipo:

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+D\cdot x+E\cdot y+F=0

Para llegar a ella, se pueden seguir los siguientes pasos considerando:

  • P(x,y)P(x,y) como un punto genérico del plano.
  • C(c1,c2)C(c_1,c_2) como el centro de la circunferencia.
  • rr como el radio de la circunferencia.


Procedimiento​​


1.

Se fuerza a que PP pertenezca a la circunferencia:

d(P,C)=(xc1)2+(yc2)2=rd(P,C)=\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}=r​​

2.

Se simplifica:

(xc1)2+(yc2)2=r2(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2​​

3.

Se desarrollan los cuadrados para obtener la ecuación general.


Centro y radio de la circunferencia 

A partir de la ecuación general de una circunferencia se pueden obtener las coordenadas del centro y del radio de la siguiente forma: 

C(c1,c2)=(D2,E2)     r=D24+E24FC(c_1,c_2)=\left(-\cfrac{D}{2},-\cfrac{E}{2}\right) \space \space \space \space \text{ }r=\sqrt{\cfrac{D^2}{4}+\cfrac{E^2}{4}-F}​​

Siempre que se cumpla que,

D24+E24F>0\cfrac{D^2}{4}+\cfrac{E^2}{4}-F>0​​


Posiciones relativas

Posición relativa de una recta y una circunferencia

Para averiguar la posición relativa de una recta con respecto a una circunferencia se debe comparar la distancia del punto frente al radio. 


Exterior

d(C,s)>rd(C,s)>r​​

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Tangente

d(C,s)=rd(C,s)=r​​

Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Elementos y ecuación general

Secante

d(C,s)<rd(C,s)<r​​

Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Elementos y ecuación general


Posición relativa de dos circunferencias

Para averiguar la posición relativa de una circunferencia con respecto a otra se debe comparar la distancia de los centros con la suma y diferencia de los radios. 

Exteriores

d(C1,C2)>r1+r2d(C_1,C_2)>r_1+r_2​​


Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Elementos y ecuación general

Tangentes
exteriores

d(C1,C2)=r1+r2d(C_1,C_2)=r_1+r_2​​


Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Elementos y ecuación general

Secantes

r1r2<d(C1,C2)<r1+r2r_1-r_2<d(C_1,C_2)<r_1+r_2​​


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TANGENTES INTERIORES

d(C1,C2)=r1r2d(C_1,C_2)=r_1-r_2​​

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INTERIORES

d(C1,C2)<r1r2d(C_1,C_2)<r_1-r_2​​

Matemáticas; Cónicas; 1. Bachillerato; Circunferencia: Elementos y ecuación general

CONCÉNTRICAS

C1=C2C_1=C_2​​

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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Cómo se puede averiguar la posición relativa de una circunferencia frente a otra?

¿Cómo se puede averiguar la posición relativa de una recta con respecto a una circunferencia?

¿Qué es una circunferencia?

Beta

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