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Ecuaciones polinómicas con soluciones complejas

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Ecuaciones polinómicas con soluciones complejas

Soluciones de un polinomio

Todos los polinomios que tengan coeficientes reales pueden descomponerse en el producto de varios binomios x−cx-c​ y un trinomio x2+px+qx^2+px+q​. Si z0z_0​ es solución de una ecuación, su conjugado también lo es.


Recuerda que: Puedes descomponer factorialmente un polinomio mediante la regla de Ruffini.


Ejemplo

Calcula las soluciones de z3+3z2+7z+5=0z^3+3z^2+7z+5=0


Primero puedes factorizar la ecuación:


​z3+3z2+7z+5=0 ⟹ (z2+2z+5)(z+1)=0z^3+3z^2+7z+5=0\implies (z^2+2z+5)(z+1)=0​​


Ahora puedes resolver cada factor por separado:


(z2+2z+5)=0(z^2+2z+5)=0​​


(z+1)=0(z+1)=0​​


Por tanto, la primera solución será z=−1‾\underline {z=-1}.


Para resolver el trinomio puedes usar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, por lo que:


​Z1,2=−2±22−4⋅1⋅52⋅1=−2±−162=−1±2iZ_{1,2}=\cfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}=\cfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm2i​​


Se obtienen dos soluciones, z1=−1+2i‾\underline{z_1=-1+2i} y z2=−1−2i‾\underline{z_2=-1-2i}​ . Las dos soluciones son conjugados.

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Ecuaciones polinómicas de primer grado

Sobre la lección

Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Sobre la lección

Ecuaciones polinómicas bicuadradas

Sobre la lección

Ecuaciones polinómicas de tercer grado

Sobre la lección

Ecuaciones polinómicas de cuarto grado o superior

Sobre la lección

Ecuaciones con expresiones radicales

Sobre la lección
Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

  • Pregunta: ¿Qué quiere decir que la solución es un número complejo y su conjugado?

    Respuesta: Si el resultado de un polinomio es a+bi, también lo será su conjugado, a-bi.

  • Pregunta: ¿Cúantas soluciones tiene un polinomio?

    Respuesta: Tantas soluciones como sea el grado del polinomio, es decir, el máximo exponente de la ecuación.

  • Pregunta: ¿Qué es una ecuación polinómica?

    Respuesta: Es aquella que está compuesta por expresiones algebraicas polinómicas

Teoría

Ejercicios

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