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Ecuaciones polinómicas con soluciones complejas

Ecuaciones polinómicas con soluciones complejas

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Docente: Pablo

Resumen

Ecuaciones polinómicas con soluciones complejas

Soluciones de un polinomio

Todos los polinomios que tengan coeficientes reales pueden descomponerse en el producto de varios binomios xcx-c​ y un trinomio x2+px+qx^2+px+q​. Si z0z_0​ es solución de una ecuación, su conjugado también lo es.


Recuerda que: Puedes descomponer factorialmente un polinomio mediante la regla de Ruffini.


Ejemplo

Calcula las soluciones de z3+3z2+7z+5=0z^3+3z^2+7z+5=0


Primero puedes factorizar la ecuación:


z3+3z2+7z+5=0 (z2+2z+5)(z+1)=0z^3+3z^2+7z+5=0\implies (z^2+2z+5)(z+1)=0​​


Ahora puedes resolver cada factor por separado:


(z2+2z+5)=0(z^2+2z+5)=0​​


(z+1)=0(z+1)=0​​


Por tanto, la primera solución será z=1\underline {z=-1}.


Para resolver el trinomio puedes usar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, por lo que:


Z1,2=2±2241521=2±162=1±2iZ_{1,2}=\cfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}=\cfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm2i​​


Se obtienen dos soluciones, z1=1+2i\underline{z_1=-1+2i} y z2=12i\underline{z_2=-1-2i} . Las dos soluciones son conjugados.

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Preguntas frecuentes

¿Qué quiere decir que la solución es un número complejo y su conjugado?

¿Cúantas soluciones tiene un polinomio?

¿Qué es una ecuación polinómica?

Beta

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