Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Los sistemas de ecuaciones exponenciales tienen al menos una ecuación exponencial. Esto quiere decir que las incógnitas aparecen en el exponente.

CASO 1: Todos los miembros del sistema tienen potencias con la misma base

Se igualan los exponentes y se resuelve el sistema.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{dcases}4^{2x+y}=4^6\\4^{4x+3y}=4^{14}\end{dcases}\rightarrow \begin{dcases}3x+y=6\\4x+3y=14\end{dcases}\rightarrow\underline{x=2} ; \underline{y=2}$

CASO 2: No hay potencias con la misma base

Se realiza un cambio de variable tras quitar las sumas o restas de los exponentes.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{dcases}2^x+5^y=9\\2^{x-1}+5^{y+1}=9\end{dcases}\rightarrow\begin{dcases}2^x+5^y=9\\\frac{1}{2}2^{x}+5\cdot5^{y}=9\end{dcases}\rightarrow u=2^x \space \space \space v=5^y \rightarrow \begin{dcases}u+v=9\\\frac{u}{2}+5\cdot v=9\end{dcases} \rightarrow u=8 \space \space \space v=1$

$2^x=8 ;\underline{x=3}\newline 5^y=1 ;\underline{y=0}$

Sistema de ecuaciones logarítmicas

Los sistemas de ecuaciones logarítmicos tienen al menos una ecuación logarítmica.

CASO 1: Aplicación del método de reducción de sistemas

Se puede resolver directamente por el método de reducción.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{dcases}\log( x)+\log(y)=3\\ \log(x)-\log(y)=1\end{dcases} \rightarrow \log(x)=2 \rightarrow x=10^2 \rightarrow \underline{x=100}$

$2+\log(y)=3\rightarrow \log(y)=1 \rightarrow \underline{y=10}$

CASO 2: Aplicación de las propiedades logarítmicas

Se puede resolver aplicando la definición y las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{dcases}x-y=4\\ \log_2(x)-\log_2(y)=1\end{dcases}$

$\log_2(4+y)-\log_2(y)=1$

$\cfrac{4+y}{2}=y \rightarrow \underline{y=4} \newline x=4+y\rightarrow \underline {x=8}$

Recuerda que: Deberás comprobar que las soluciones obtenidas son válidas. Por ejemplo, los logaritmos de números negativos no existen.