Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si puede tomar la forma

$ax^2+bx+c=0$

Siendo $a,b,c$ números reales.

Si:

$a{=}\mathllap{/\,}0$ , se transformaría automáticamente en una ecuación de primer grado.
$a{=}\mathllap{/\,}0,b{=}\mathllap{/\,}0$ y $c{=}\mathllap{/\,}0$ , la ecuación se llama ecuación de segundo grado completa.
$b=0, \ c=0 \ \text{ó } b=c=0$ , la ecuación se llama de segundo grado incompleta

Ejemplo

$2x^2-4x+3=0 \implies$ Ecuación de segundo grado completa

$3x^2-4=0\space\space\space\space\space\space\space\space\space \implies$ Ecuación de segundo grado incompleta

$0x^2-5x+6=0 \implies$ Ecuación de primer grado

Resolución

Las ecuaciones de segundo grado pueden tener entre cero y dos soluciones. El método para resolver ecuaciones de segundo grado varía según qué tipo de ecuación se tenga.

Ecuaciones de segundo grado completas

Se resuelven aplicando la ecuación cuadrática:

$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación:

$\it (x+1) \cdot (x+2)=6$

Se agrupan términos para obtener la ecuación equivalente $ax^2+bx+c=0$

$x^2+2x+x+2=6 \implies x^2+3x-4=0 \implies x=\cfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1} \implies \newline \implies x=\cfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$

$x=\cfrac{-3\pm\sqrt{25}}{2} \implies \begin{cases} \cfrac{-3+5}{2}= \cfrac{2}{2}=\underline{x_1=1}\\ \cfrac{-3-5}{2}= \cfrac{-8}{2}=\underline{x_2=-4}\end{cases}$

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se resuelven de manera diferente según qué término de la ecuación falte.

Si $b=0\implies ax^2+c=0 \space\space\space$ tendrás que despejar la incógnita.
Si $c=0 \implies ax^2+bx=0$ habrá que sacar factor común la incógnita.

Truco: Si se te olvida el método de resolución de las ecuaciones incompletas, ¡también puedes aplicar la ecuación cuadrática!

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación:

$\it 6x^2+12=0$

Despejando la incógnita:

$6x^2=-12 \implies x^2 = \cfrac{-12}{6} \implies \underline{x=\pm \sqrt{\cfrac{-12}{6}}}$

Nota: Observa que en el ejemplo hay cero soluciones reales pues no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.