Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si puede tomar la forma 

$$ax^2+bx+c=0$$

​

Siendo $$a,b,c$$ números reales.

Si:

• $$a{=}\mathllap{/\,}0$$, se transformaría automáticamente en una ecuación de primer grado.
• $$a{=}\mathllap{/\,}0,b{=}\mathllap{/\,}0$$ y $$c{=}\mathllap{/\,}0$$, la ecuación se llama ecuación de segundo grado completa. 
• $$b=0, \ c=0 \ \text{ó } b=c=0$$​, la ecuación se llama de segundo grado incompleta

Ejemplo

​$$2x^2-4x+3=0 \implies$$Ecuación de segundo grado completa    

$$3x^2-4=0\space\space\space\space\space\space\space\space\space \implies$$Ecuación de segundo grado incompleta

$$0x^2-5x+6=0 \implies$$Ecuación de primer grado​​

Resolución

Las ecuaciones de segundo grado pueden tener entre cero y dos soluciones. El método para resolver ecuaciones de segundo grado varía según qué tipo de ecuación se tenga.

Ecuaciones de segundo grado completas

Se resuelven aplicando la ecuación cuadrática:

​$$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación:

​$$\it (x+1) \cdot (x+2)=6$$

​

Se agrupan términos para obtener la ecuación equivalente $$ax^2+bx+c=0$$

$$x^2+2x+x+2=6 \implies x^2+3x-4=0 \implies x=\cfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1} \implies \newline \implies x=\cfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$$ 

$$x=\cfrac{-3\pm\sqrt{25}}{2} \implies \begin{cases} \cfrac{-3+5}{2}= \cfrac{2}{2}=\underline{x_1=1}\\ \cfrac{-3-5}{2}= \cfrac{-8}{2}=\underline{x_2=-4}\end{cases}$$ 

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se resuelven de manera diferente según qué término de la ecuación falte. 

• Si $$b=0\implies ax^2+c=0 \space\space\space$$tendrás que despejar la incógnita. 
• Si $$c=0 \implies ax^2+bx=0$$ habrá que sacar factor común la incógnita.

Truco: Si se te olvida el método de resolución de las ecuaciones incompletas, ¡también puedes aplicar la ecuación cuadrática!

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación:

​$$\it 6x^2+12=0$$

Despejando la incógnita:

$$6x^2=-12 \implies x^2 = \cfrac{-12}{6} \implies \underline{x=\pm \sqrt{\cfrac{-12}{6}}}$$

​

Nota: Observa que en el ejemplo hay cero soluciones reales pues no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.