Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Définition

La probabilité conditionnelle d’un événement aléatoire $$A$$​ est la probabilité qu’il se réalise sachant qu’un autre événement $$B$$​ se réalise. 

Exemple

Probabilité que Valentine tire une reine sachant qu’elle tire un habillé :

$$P(Reine|Habill\acute{e})$$​​

Calculer la probabilité conditionnelle

Pour calculer une probabilité conditionnelle on adapte la formule habituelle :

$$P\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{Nombre\ de\ resultats\ examines}{Nombre\ de\ resultats\ correspondant\ à\ B}$$​​

Remarque : Rappelle-toi que cette formule ne marche que si tous les résultats considérés ont la même probabilité de se réaliser (équiprobabilité).

Le nombre de résultats possibles dans ce cas est modifié par la condition supplémentaire donnée par le deuxième événement. 

MÉTHODE

Exemple

Calcule la probabilité que Valentine tire une reine si elle pioche une carte dans un jeu de poker. 

Calcule ensuite la probabilité conditionnelle qu’elle tire une reine sachant qu’elle tire un habillé.

Calcule $$P(Reine)$$​ :

Nombre de reines : $$4$$​

Nombre total de cartes possibles : $$52$$​

Utilise la formule :

$$P\left(Reine\right)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\$$​​

Calcule $$P(Reine|Habill\acute{e})\$$​:

Numérateur : 

Nombres de cartes qui sont à la fois une reine et un habillé : $$4$$​

Dénominateur :

Nombre d’habillés : $$12$$​ ($$4$$​ valets, $$4$$​ reines, $$4$$​ rois)

Calcule la fraction : 

$$P\left(Reine\middle| H a b i l l\acute{e}\right)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$​​

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes donne une formule qui permet de calculer la probabilité conditionnelle $$P(A|B)$$​ en connaissant la probabilité conditionnelle $$P(B|A)$$​ et les probabilités des événements $$A$$​ et $$B$$​ : $$P(A)$$​ et $$P(B)$$​.

Formule 

$$P\left(A\middle| B\right)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$​​

Exemple – Examens de médecine

Les étudiants en première année de médecine ont eu deux examens et on connaît les statistiques suivantes : 

• Le taux de réussite au premier examen est de 70%.
  
• Le taux de réussite au deuxième est de 40%.
  
• La probabilité qu’un étudiant ait réussi le premier examen sachant qu’il a réussi le deuxième est de 80%.
  

Calcule la probabilité qu’un étudiant réussisse le deuxième examen sachant qu’il a réussi le premier. 

Résolution :

Définis les événements :

​$$A = R\acute{e}ussite\ du\ deuxi\grave{e}me\ examen\\B = R\acute{e}ussite\ du\ premier\ examen$$​​

Trouve les probabilités : 

$$P\left(A\right) = 40\% = 0.4\\P\left(B\right) = 70\% = 0.7\\P(B|A) = 80\% = 0.8$$​​

Applique la formule : 

$$P\left(A\middle| B\right)=\frac{P\left(B\middle| A\right)\cdot P\left(A\right)}{P\left(B\right)}=\ \frac{0.8\cdot0.4}{0.7}\approx0.46=46\%$$​​

La probabilité qu’un étudiant ait réussi le deuxième examen sachant qu’il a réussi le premier est donc de 46%.