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Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

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Résumés

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Définition

La probabilité conditionnelle d’un événement aléatoire AAA​ est la probabilité qu’il se réalise sachant qu’un autre événement BBB​ se réalise. 


​P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)​​

​AAA​​

Événement observé

​BBB​​

Condition

Ein Bild, das Text enthält. Automatisch generierte Beschreibung

Exemple

Probabilité que Valentine tire une reine sachant qu’elle tire un habillé :

P(Reine∣Habilleˊ)P(Reine|Habill\acute{e})P(Reine∣Habilleˊ)​​


Calculer la probabilité conditionnelle

Pour calculer une probabilité conditionnelle on adapte la formule habituelle :


P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=Nombre de resultats examinesNombre de resultats correspondant aˋ BP\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{Nombre\ de\ resultats\ examines}{Nombre\ de\ resultats\ correspondant\ à\ B}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​=Nombre de resultats correspondant aˋ BNombre de resultats examines​​​


Remarque : Rappelle-toi que cette formule ne marche que si tous les résultats considérés ont la même probabilité de se réaliser (équiprobabilité).


Le nombre de résultats possibles dans ce cas est modifié par la condition supplémentaire donnée par le deuxième événement. 


MÉTHODE

1.

Numérateur :

Compte tous les résultats qui correspondent à la fois à l’événement AAA​ et à l’événement BBB​. 

2.

Dénominateur :

Compte tous les résultats possibles correspondant à l’événement BBB​.

3.

Calcule la fraction pour obtenir P(A∣B)P\left(A|B\right)P(A∣B)​.


Exemple

Calcule la probabilité que Valentine tire une reine si elle pioche une carte dans un jeu de poker. 

Calcule ensuite la probabilité conditionnelle qu’elle tire une reine sachant qu’elle tire un habillé.

 

Calcule P(Reine)P(Reine)P(Reine)​ :

Nombre de reines : 444​


Nombre total de cartes possibles : 525252​


Utilise la formule :

P(Reine)=452=113 P\left(Reine\right)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\ P(Reine)=524​=131​ ​​


Calcule P(Reine∣Habilleˊ) P(Reine|Habill\acute{e})\ P(Reine∣Habilleˊ) ​:


Numérateur : 

Nombres de cartes qui sont à la fois une reine et un habillé : 444​


Dénominateur :

Nombre d’habillés : 121212​ (444​ valets, 444​ reines, 444​ rois)


Calcule la fraction : 

P(Reine|Habilleˊ)=412=13P\left(Reine\middle| H a b i l l\acute{e}\right)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}P(Reine∣Habilleˊ)=124​=31​​​


Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes donne une formule qui permet de calculer la probabilité conditionnelle P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)​ en connaissant la probabilité conditionnelle P(B∣A)P(B|A)P(B∣A)​ et les probabilités des événements AAA​ et BBB​ : P(A)P(A)P(A)​ et P(B)P(B)P(B)​.


Formule 

P(A|B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P\left(A\middle| B\right)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)​​​



Exemple – Examens de médecine

Les étudiants en première année de médecine ont eu deux examens et on connaît les statistiques suivantes : 

  • Le taux de réussite au premier examen est de 70%.
  • Le taux de réussite au deuxième est de 40%.
  • La probabilité qu’un étudiant ait réussi le premier examen sachant qu’il a réussi le deuxième est de 80%.

Calcule la probabilité qu’un étudiant réussisse le deuxième examen sachant qu’il a réussi le premier. 


Résolution :

Définis les événements :

​A=Reˊussite du deuxieˋme examenB=Reˊussite du premier examenA = R\acute{e}ussite\ du\ deuxi\grave{e}me\ examen\\B = R\acute{e}ussite\ du\ premier\ examenA=Reˊussite du deuxieˋme examenB=Reˊussite du premier examen​​


Trouve les probabilités : 

P(A)=40%=0.4P(B)=70%=0.7P(B∣A)=80%=0.8P\left(A\right) = 40\% = 0.4\\P\left(B\right) = 70\% = 0.7\\P(B|A) = 80\% = 0.8P(A)=40%=0.4P(B)=70%=0.7P(B∣A)=80%=0.8​​


Applique la formule : 

P(A|B)=P(B|A)⋅P(A)P(B)= 0.8⋅0.40.7≈0.46=46%P\left(A\middle| B\right)=\frac{P\left(B\middle| A\right)\cdot P\left(A\right)}{P\left(B\right)}=\ \frac{0.8\cdot0.4}{0.7}\approx0.46=46\%P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)​= 0.70.8⋅0.4​≈0.46=46%​​


La probabilité qu’un étudiant ait réussi le deuxième examen sachant qu’il a réussi le premier est donc de 46%.




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Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que le théorème de Bayes ?

Le théorème de Bayes donne une formule qui permet de calculer la probabilité conditionnelle P(A¦B) en connaissant la probabilité conditionnelle P(B¦A) et les probabilités des événements A et B : P(A) et P(B).

Comment puis-je calculer la probabilité conditionnelle ?

Pour calculer la probabilité conditionnelle, tu devras tout d'abord : 1. compter tous les résultats qui correspondent à la fois à l'événement A et à l'événement B (numérateur). 2. compter tous les résultats possibles qui correspondent à l'événement B (dénominateur). 3. calculer la fraction pour obtenir P(A¦B)

Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle d'un événement aléatoire A est la probabilité qu'il se réalise sachant qu'un autre événement B se réalise.

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