Théorème de Rolle et de Lagrange
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Résumés
Théorème de Rolle et de Lagrange
Théorème de Rolle
Idée générale
Quand une fonction dérivable sur un intervalle prend la même valeur en deux points, le théorème de Rolle garantit qu’il existe au moins un point où la dérivée est zéro : .
Illustration
| Même valeur en et en : Il existe au moins un point où la dérivée est zéro : |  |
Énoncé du théorème
Considère une fonction réelle continue sur l’intervalle fermé et dérivable sur l’intervalle ouvert . Si , alors il existe un point situé entre et tel que .
Remarque : Le théorème de Rolle est un théorème d’existence. Il garantit l’existence d’un point ayant les propriétés énoncées mais ne donne aucune méthode pour trouver ce point en pratique.
Discussion des hypothèses
Pour pouvoir appliquer le théorème de Rolle à une fonction , celle-ci doit respecter trois hypothèses :
-
,
-
est continue sur l’intervalle fermé ,
-
est dérivable sur l’intervalle ouvert .
Si une de ces hypothèses n’est pas respectée, l’existence d’un point tel que n’est pas garantie. Des contre-exemples sont présentés ci-dessous :
| 1. La première hypothèse n’est pas respectée : . Il n’existe pas de point tel que . |  |
| 2. La deuxième hypothèse n’est pas respectée : n’est pas continue au point Il n’existe pas de point tel que . |  |
| 3. La troisième hypothèse n’est pas respectée : n’est pas dérivable sur l’intervalle . Il n’existe pas de point tel que . |  |
Théorème de Lagrange
Idée générale
Quand une fonction est dérivable sur un intervalle entre deux points et , le théorème de Lagrange garantit qu’il existe un point où la dérivée est égale à la pente moyenne entre et .
Remarque : Le théorème de Lagrange, aussi appelé théorème des accroissements finis, est une généralisation du théorème de Rolle. En effet, dans le théorème de Rolle, la pente moyenne entre et est .
Illustration
| La pente moyenne entre et est Au point , la tangente est parallèle au segment reliant et . La dérivée au point est égale à la pente moyenne entre et : |  |
Énoncé du théorème
Considère une fonction réelle continue sur l’intervalle fermé et dérivable sur l’intervalle ouvert . Il existe un point situé entre et tel que .
Remarque : Similairement au théorème de Rolle, le théorème de Lagrange est un théorème d’existence. Il ne fournit aucun moyen de construire explicitement le point
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Unité 1
Théorème de Rolle et de Lagrange
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Quel est l'énoncé du théorème de Lagrange ?
Considère une fonction réelle f continue sur l’intervalle fermé [a,b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a,b[. Il existe un point c situé entre a et b tel que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
Quelle est l'idée générale du théorème de Lagrange ?
Quand une fonction est dérivable sur un intervalle entre deux points a et b, le théorème de Lagrange garantit qu’il existe un point c où la dérivée est égale à la pente moyenne entre f(a) et f(b).
Quel est l'énoncé du théorème de Rolle ?
Considère une fonction réelle f continue sur l’intervalle fermé [a,b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a,b[. Si f(a)=f(b), alors il existe un point c situé entre a et b tel que f'(c)=0.
Quelle est l'idée générale du théorème de Rolle ?
Quand une fonction dérivable sur un intervalle prend la même valeur en deux points, le théorème de Rolle garantit qu’il existe au moins un point c où la dérivée est zéro : f^' (c)=0.