Théorème de Rolle et de Lagrange

Théorème de Rolle

Idée générale

Quand une fonction dérivable sur un intervalle prend la même valeur en deux points, le théorème de Rolle garantit qu’il existe au moins un point $$c$$​ où la dérivée est zéro : $$f^\prime\left(c\right)=0$$​. 

Illustration

Même valeur en $$a$$​ et en $$b$$​ : $$f\left(a\right)=f(b)$$​​ Il existe au moins un point où la dérivée est zéro : $$f'\left(c\right)=0$$​​

Énoncé du théorème

Considère une fonction réelle $$f$$​ continue sur l’intervalle fermé $$[a,\ b]$$​ et dérivable sur l’intervalle ouvert $$]a,b[$$​. Si $$f(a)=f(b)$$​, alors il existe un point $$c$$​ situé entre $$a$$​ et $$b$$​ tel que $$f'\left(c\right)=0$$​.

Remarque : Le théorème de Rolle est un théorème d’existence. Il garantit l’existence d’un point  ayant les propriétés énoncées mais ne donne aucune méthode pour trouver ce point en pratique.

Discussion des hypothèses

Pour pouvoir appliquer le théorème de Rolle à une fonction $$f$$​, celle-ci doit respecter trois hypothèses :

• $$f(a)=f(b)$$​,​
  
• $$f$$​ est continue sur l’intervalle fermé $$[a,\ b]$$​,
  
• $$f$$​ est dérivable sur l’intervalle ouvert $$]a,b[$$​.
  

Si une de ces hypothèses n’est pas respectée, l’existence d’un point $$c$$​ tel que $$f'\left(c\right)=0$$​ n’est pas garantie. Des contre-exemples sont présentés ci-dessous :

1. La première hypothèse n’est pas respectée : $$f(a)\neq f(b)$$​. Il n’existe pas de point $$\mathbf{c}$$​ tel que $$\mathbf{f}'\left(\mathbf{c}\right)=\mathbf{0}$$​.
2. La deuxième hypothèse n’est pas respectée : $$f$$​ n’est pas continue au point $$a.$$​ Il n’existe pas de point $$c$$​ tel que $$f'\left(c\right)=0$$​.
3. La troisième hypothèse n’est pas respectée : $$f$$​ n’est pas dérivable sur l’intervalle $$]a,b[$$​.  Il n’existe pas de point $$c$$​ tel que $$f'\left(c\right)=0$$​.

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Théorème de Lagrange

Idée générale

Quand une fonction est dérivable sur un intervalle entre deux points $$a$$​ et $$b$$​, le théorème de Lagrange garantit qu’il existe un point $$c$$​ où la dérivée est égale à la pente moyenne entre $$f(a)$$​ et $$f(b)$$​.

Remarque : Le théorème de Lagrange, aussi appelé théorème des accroissements finis, est une généralisation du théorème de Rolle. En effet, dans le théorème de Rolle, la pente moyenne entre $$\mathbf{f}(\mathbf{a})$$​ et $$\mathbf{f}(\mathbf{b})$$ est $$\mathbf{0}$$​.

Illustration

La pente moyenne entre $$f\left(a\right)$$​ et $$f(b)$$​ est $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$​ Au point $$c$$​, la tangente est parallèle au segment reliant $$f\left(a\right)$$​ et $$f(b)$$​. La dérivée au point $$c$$​ est égale à la pente moyenne entre $$f\left(a\right)$$​ et $$f(b)$$​ : $$f'\left(c\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$​​

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Énoncé du théorème

Considère une fonction réelle $$f$$​ continue sur l’intervalle fermé $$[a,\ b]$$​ et dérivable sur l’intervalle ouvert $$]a,b[$$​. Il existe un point $$c$$​ situé entre $$a$$​ et $$b$$​ tel que $$f\prime\left(c\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$​.

Remarque : Similairement au théorème de Rolle, le théorème de Lagrange est un théorème d’existence. Il ne fournit aucun moyen de construire explicitement le point $$c.$$​