Équation de tangente et de normale

Équation de la tangente

Une tangente touche une fonction en un point.

Déterminer l’équation de la tangente au point $x_B$ à l’aide du graphe de la fonction $f\left(x\right)\$ .

1.	Si elle n'est pas donnée, calcule la valeur $y_B$ du point de contact : Introduis $x_B$ dans la fonction. Le résultat est $y_B$ .
2.	Détermine la pente $m$ : Forme la dérivée première de la fonction. Introduis $x_B$ dans la dérivée. Le résultat est la pente $m$ .
3.	Écris l'équation générale d'une droite pour la tangente et introduis m. $t\left(x\right)=mx+q$ Remarque : on doit trouver $q$ (l’ordonnée à l’origine).
4.	Détermine l’ordonnée à l’origine $q$ : Remplace $x$ et $t\left(x\right)$ par les valeurs $x_B$ et $y_B$ dans l’équation de la tangente : $y_B=mx_B+q$ Résous l’équation pour trouver $q.$
5.	Introduis les valeurs obtenues dans l’équation de la tangente.

Exemple

Détermine l’équation de la tangente au point $B(1;y_B)$ du graphe $f\left(x\right)=0.5x^3-1$

Dérivée première :

$f'\left(x\right)=1.5x^2$

Pente de la tangente :

$m=f'\left(1\right)=1.5\cdot1^2=1.5$

Valeur du point de contact :

$f\left(1\right)=0.5\cdot1^2-1=-0.5$

Introduis dans l’équation de la tangente :

$-0.5=1.5\cdot1+q$

Résous pour trouver $q$ :

$-2=q$

Définis l’équation de la tangente :

$\underline{t\left(x\right)=1.5x-2}$

Une droite normale $n$ coupe une fonction perpendiculairement en un point.

PROPRIÉTÉS

La normale et la fonction passent par le même point P.
La normale est perpendiculaire à la tangente de la fonction passant par le point P.

Déterminer l’équation de la normale au point $x_P$ avec le graphique de la fonction $f\left(x\right)\$

1.	Si elle n'est pas donnée, calculez la valeur $y_P$ du point : Introduis $x_P$ dans la fonction. Le résultat est $y_P$ .
2.	Détermine la pente $m$ : Forme la dérivée première de la fonction. Introduis $x_P$ dans la dérivée. Le résultat est la pente de la tangente . Forme la pente perpendiculaire à la pente de la tangente : $m=-\frac{1}{m_t}$ Ceci est la pente de la normale.
3.	Écris l'équation générale d'une ligne droite pour la normale et introduis $m$ . $n\left(x\right)=mx+q$ Remarque : on doit trouver $q$ (l’ordonnée à l’origine).
4.	Détermine l’ordonnée à l’origine $q$ : Remplace $x$ et $n(x)$ par $x_P$ et $y_P$ dans l’équation de la normale : $y_P=mx_P+q$ Résous l’équation pour trouver $q$ .
5.	Introduis les valeurs obtenues dans l’équation de la normale.