Opérations sous forme trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique

Multiplication et division

La forme trigonométrique est pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

Pour la multiplication, on multiplie les modules et on additionne les arguments :

$\left[r(cos(\varphi)+i\cdot s i n(\varphi))\right]\cdot\left[s(cos(\psi)+i\cdot s i n(\psi))\right]=r\cdot s(cos(\varphi+\psi)+i\cdot sin(\varphi+\psi))$

Pour la division, on divise les modules et on soustrait les arguments :

$\frac{r(cos(\varphi)+i\cdot s i n(\varphi))}{s(cos(\psi)+i\cdot s i n(\psi))}=\frac{r}{s}\cdot(cos(\varphi-\psi)+i\cdot sin(\varphi-\psi))$

Un peu d’intuition

Multiplier ou diviser par un nombre complexe correspond à faire une rotation et un allongement/raccourcissement. L’angle de rotation est donné par l’argument. Le facteur d’allongement/raccourcissement est donné par le module.

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Exemples

Multiplication :

$2\left(cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot3\left(cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right) =2\cdot3\left(cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\right)\right) =6\left(cos\left(\frac{4\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right)$

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Division :

$\frac{6\left(cos\left(\frac{4\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right)}{2\left(cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right)}=\frac{6}{2}\left(cos\left(\frac{4\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{4\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}\right)\right)=3\left(cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Forme exponentielle

Multiplication et division

Le procédé est similaire à la forme trigonométrique : pour la multiplication, on multiplie les modules et on additionne les arguments et pour la division, on divise les modules et on soustrait les arguments :

${re}^{i\varphi}\cdot se^{i\psi}=rse^{i(\varphi+\psi)}$

$\frac{{re}^{i\varphi}}{se^{i\psi}}=\frac{r}{s}e^{i(\varphi-\psi)}$

Exemples

Multiplication :

${2e}^{i\pi}\cdot3e^{i\frac{\pi}{2}}=2\cdot3e^{i(\pi+\frac{\pi}{2})}=6e^{i\frac{3\pi}{2}}$ 

Division :

$\frac{{4e}^{3\pi i}}{2e^{\pi i}}=\frac{4}{2}e^{i(3\pi-\pi)}=2e^{2\pi i}$ 