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Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

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Introduction

Équations différentielles

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Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Opérations sous forme trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique

Multiplication et division

La forme trigonométrique est pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

Pour la multiplication, on multiplie les modules et on additionne les arguments :

[r(cos(φ)+i⋅sin(φ))]⋅[s(cos(ψ)+i⋅sin(ψ))]=r⋅s(cos(φ+ψ)+i⋅sin(φ+ψ))\left[r(cos(\varphi)+i\cdot s i n(\varphi))\right]\cdot\left[s(cos(\psi)+i\cdot s i n(\psi))\right]=r\cdot s(cos(\varphi+\psi)+i\cdot sin(\varphi+\psi))[r(cos(φ)+i⋅sin(φ))]⋅[s(cos(ψ)+i⋅sin(ψ))]=r⋅s(cos(φ+ψ)+i⋅sin(φ+ψ))​​


Pour la division, on divise les modules et on soustrait les arguments :

r(cos(φ)+i⋅sin(φ))s(cos(ψ)+i⋅sin(ψ))=rs⋅(cos(φ−ψ)+i⋅sin(φ−ψ))\frac{r(cos(\varphi)+i\cdot s i n(\varphi))}{s(cos(\psi)+i\cdot s i n(\psi))}=\frac{r}{s}\cdot(cos(\varphi-\psi)+i\cdot sin(\varphi-\psi))s(cos(ψ)+i⋅sin(ψ))r(cos(φ)+i⋅sin(φ))​=sr​⋅(cos(φ−ψ)+i⋅sin(φ−ψ))​​


Un peu d’intuition

Multiplier ou diviser par un nombre complexe correspond à faire une rotation et un allongement/raccourcissement. L’angle de rotation est donné par l’argument. Le facteur d’allongement/raccourcissement est donné par le module.

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique


Exemples

Multiplication :

2(cos(π6)+i⋅sin(π6))⋅3(cos(3π6)+i⋅sin(3π6))=2⋅3(cos(π6+3π6)+i⋅sin(π6+3π6))=6(cos(4π6)+i⋅sin(4π6))2\left(cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot3\left(cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right) =2\cdot3\left(cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\right)\right) =6\left(cos\left(\frac{4\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right) 2(cos(6π​)+i⋅sin(6π​))⋅3(cos(63π​)+i⋅sin(63π​))=2⋅3(cos(6π​+63π​)+i⋅sin(6π​+63π​))=6(cos(64π​)+i⋅sin(64π​))​​


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Division : 

​6(cos(4π6)+i⋅sin(4π6))2(cos(3π6)+i⋅sin(3π6))=62(cos(4π6−3π6)+i⋅sin(4π6−3π6))=3(cos(π6)+i⋅sin(π6))\frac{6\left(cos\left(\frac{4\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right)}{2\left(cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right)}=\frac{6}{2}\left(cos\left(\frac{4\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{4\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}\right)\right)=3\left(cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)2(cos(63π​)+i⋅sin(63π​))6(cos(64π​)+i⋅sin(64π​))​=26​(cos(64π​−63π​)+i⋅sin(64π​−63π​))=3(cos(6π​)+i⋅sin(6π​))​​


Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique



Forme exponentielle

Multiplication et division

Le procédé est similaire à la forme trigonométrique : pour la multiplication, on multiplie les modules et on additionne les arguments et pour la division, on divise les modules et on soustrait les arguments :


reiφ⋅seiψ=rsei(φ+ψ){re}^{i\varphi}\cdot se^{i\psi}=rse^{i(\varphi+\psi)}reiφ⋅seiψ=rsei(φ+ψ)​​


reiφseiψ=rsei(φ−ψ)\frac{{re}^{i\varphi}}{se^{i\psi}}=\frac{r}{s}e^{i(\varphi-\psi)}seiψreiφ​=sr​ei(φ−ψ)​​


Exemples

Multiplication :

2eiπ⋅3eiπ2=2⋅3ei(π+π2)=6ei3π2{2e}^{i\pi}\cdot3e^{i\frac{\pi}{2}}=2\cdot3e^{i(\pi+\frac{\pi}{2})}=6e^{i\frac{3\pi}{2}}2eiπ⋅3ei2π​=2⋅3ei(π+2π​)=6ei23π​​​

Division :

4e3πi2eπi=42ei(3π−π)=2e2πi\frac{{4e}^{3\pi i}}{2e^{\pi i}}=\frac{4}{2}e^{i(3\pi-\pi)}=2e^{2\pi i}2eπi4e3πi​=24​ei(3π−π)=2e2πi​​




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Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
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Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Unité 1

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Test final

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment effectuer une multiplication ou une division sous forme exponentielle ?

Le procédé est similaire à la forme trigonométrique : pour la multiplication, on multiplie les modules et on additionne les arguments. Pour la division, on divise les modules et on soustrait les arguments.

Comment effectuer une multiplication ou une division sous forme trigonométrique ?

La forme trigonométrique est pratique pour effectuer des multiplications ou des divisions. Pour la multiplication, on multiplie les modules et on additionne les arguments. Pour la division, on divise les modules et on soustrait les arguments.

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