Représentation d’expériences aléatoires composées

Contexte

Selon la composition des expériences aléatoires, deux types de représentations sont utiles.

Elles permettent d'avoir un aperçu clair des expériences aléatoires et de calculer plus facilement les probabilités recherchées.

Tableau

Appliqué pour 

• les expériences aléatoires à deux étapes,
  
• les cas d’équiprobabilité, par exemple avec des pièces, dés.
  

​

Représentation

TABLEAU

• Première ligne : événements de la première expérience aléatoire
  
• Première colonne : événements de la deuxième expérience aléatoire
  
• Cases : combinaison d’événements en fonction de l’exercice
  

​

Probabilités

Les probabilités des cases individuelles sont égales.

• Probabilité d’une case : 
  
• Probabilité de plusieurs cases : 

Exemple

Deux dés ont été lancés. Les nombres de points sont additionnés.

Probabilités combinées :

La probabilité de l’issue 8 : $$P(8)=\frac{5}{36}$$​

La probabilité de l’issue 4 : $$P(4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$​

Diagramme en arbre

Appliqué pour 

• toutes les expériences aléatoires composées, par exemple tirer cinq boules d’une urne.
  
• tous les cas de non équiprobabilité, par exemple un sondage ou une urne avec des boules de couleurs différentes.
  

Représentation

Éléments de l’arbre

	NŒUD	Résultat possible d’une expérience aléatoire
	BRANCHE	Probabilité d’un résultat (d’un nœud)

Probabilités

Dessiner l’arbre

MÉTHODE

Conseil : S’il y a beaucoup d’étapes et d’événements : Dessine seulement la partie du diagramme en arbre qui est nécessaire pour résoudre l’exercice.

Exemple

Urne avec cinq boules rayées, trois grises et deux blanches.

Dessine le nœud de départ :

Nœuds : (1) boule grise, (2) boule blanche, (3) boule rayée.

Probabilité à un niveau 

• Boule grise : $$P\left(grise\right)=\frac{3}{10}$$​
  
• Boule blanche : $$P\left(blanche\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$​
  
• Boule rayée : $$P\left(ray\acute{e}e\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$​
  

Première étape :

Deuxième étape :

• Après chaque nœud une boule grise, blanche ou rayée peut être tirée.
  
• La boule précédemment tirée n’est pas remise dans l‘urne. Nouvelles probabilités : réduire tous les dénominateurs de 1 (avant simplification de la fraction) et réduire le numérateur de 1 là où la boule est tirée.
  

Arbre complet avec les probabilités des nœuds d’arrivée :