Représentation d’expériences aléatoires composées

Contexte

Selon la composition des expériences aléatoires, deux types de représentations sont utiles.

Elles permettent d'avoir un aperçu clair des expériences aléatoires et de calculer plus facilement les probabilités recherchées.

Tableau

Appliqué pour

les expériences aléatoires à deux étapes,
les cas d’équiprobabilité, par exemple avec des pièces, dés.

Représentation

TABLEAU

Première ligne : événements de la première expérience aléatoire
Première colonne : événements de la deuxième expérience aléatoire
Cases : combinaison d’événements en fonction de l’exercice

Probabilités

Les probabilités des cases individuelles sont égales.

Probabilité d’une case :
Probabilité de plusieurs cases :

Exemple

Deux dés ont été lancés. Les nombres de points sont additionnés.

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Représentation d'expériences aléatoires composées

Probabilités combinées :

La probabilité de l’issue 8 : $P(8)=\frac{5}{36}$

La probabilité de l’issue 4 : $P(4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

Diagramme en arbre

Appliqué pour

toutes les expériences aléatoires composées, par exemple tirer cinq boules d’une urne.
tous les cas de non équiprobabilité, par exemple un sondage ou une urne avec des boules de couleurs différentes.

Représentation

Éléments de l’arbre

	NŒUD	Résultat possible d’une expérience aléatoire
	BRANCHE	Probabilité d’un résultat (d’un nœud)

Probabilités

« PROBABILITÉS – RÈGLE DU ‘ET’ »

Combiner les nœuds les uns après les autres

Multiplier les probabilités des branches sur le chemin du nœud de départ au nœud d’arrivée.

« PROBABILITÉ – RÈGLE DU ‘OU’ »

Combiner les nœuds côté à côté

Additionne les probabilités des nœuds d’arrivée combinés.

Dessiner l’arbre

MÉTHODE

1.	Dessine le nœud de départ.
2.	Dessine toutes les issues possibles de la première expérience aléatoire sous forme de nœuds.
3.	Connecte le nœud de départ avec chaque nœud. Écris les probabilités des événements sur les branches.
4.	Dessine sous chaque nœud les issues possibles de l’expérience aléatoire suivante sous forme de nœud.
5.	Connecte de nouveau les nœuds avec les branches et note la probabilité respective.
6.	Répète les étapes 4 et 5 pour chaque nouvelle expérience aléatoire.
7.	Multiplie les probabilités des branches sur le chemin du nœud de départ au nœud d’arrivée.

Conseil : S’il y a beaucoup d’étapes et d’événements : Dessine seulement la partie du diagramme en arbre qui est nécessaire pour résoudre l’exercice.

Exemple

Urne avec cinq boules rayées, trois grises et deux blanches.

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Représentation d'expériences aléatoires composées

Dessine le nœud de départ :

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Représentation d'expériences aléatoires composées

Nœuds : (1) boule grise, (2) boule blanche, (3) boule rayée.

Probabilité à un niveau

Boule grise : $P\left(grise\right)=\frac{3}{10}$
Boule blanche : $P\left(blanche\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
Boule rayée : $P\left(ray\acute{e}e\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Première étape :

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Représentation d'expériences aléatoires composées

Deuxième étape :

Après chaque nœud une boule grise, blanche ou rayée peut être tirée.
La boule précédemment tirée n’est pas remise dans l‘urne. Nouvelles probabilités : réduire tous les dénominateurs de 1 (avant simplification de la fraction) et réduire le numérateur de 1 là où la boule est tirée.

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Représentation d'expériences aléatoires composées

Arbre complet avec les probabilités des nœuds d’arrivée :

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Représentation d'expériences aléatoires composées