Points d'inflexion d'une fonction

Définition

Les points d'inflexion sont des points où la courbure du graphe passe d'une courbure convexe à une courbure concave ou vice versa. 

Conseil : Lorsque la fonction sourit, elle est convexe ; lorsqu’elle tire une mine grave, elle est concave.                                                                                                                  

Déterminer les points d’inflexion

La méthode suivante est utilisée pour déterminer les points d’inflexion :

MÉTHODE

Exemple

Détermine le point d’inflexion de la fonction : $$f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$$​

Dérivées : 

Dérivée première : $$f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$$​

Dérivée seconde : $$\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$$​

Dérivée troisième : $$f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6$$​

Condition nécessaire : $$f''\left(x\right)=0$$​

$$6x-6=0$$​​

Résous :

$$x_{Inf}=1$$​​

Condition suffisante : $$f'''\left(x\right)\neq0$$​

$$x_{Inf}=1$$​ vérifie : $$f'''\left(1\right)=6$$​  changement de concave à convexe

Valeur $$y$$​ correspondante :

$$f\left(1\right)=16$$​​

Point d’inflexion : $$INF(1;16)$$​