Zéros et ordonnée à l’origine

Zéros d’une fonction

Définition

Un zéro (ou point d’annulation) d’une fonction est un point d’intersection de la fonction avec l’axe des $x$ . En ce point la valeur est zéro : $f(x)=0.$

Calculer les zéros

1.

Pose l’équation : $f(x)=0$ .

2.

Résous pour trouver $x$ .

Utilise ta calculatrice, si c’est autorisé.

Conseils pour quelques cas particuliers

FRACTION

Seul le numérateur doit être égal à zéro.

Exemple

$\frac{x^2-4}{x^3-9x+1}=0$

Résous :

$x^2-4=0$

RACINE

Seul le contenu de la racine doit être égal à zéro.

Exemple

$\sqrt{x^3-27}=0$

Résous :

$x^3-27=0$

FONCTION EXPONENTIELLE

La fonction de base d’une fonction exponentielle n'a pas de zéros.

Exemple

$e^x\neq0$

LOGARITHME

La valeur du logarithme est nulle si son contenu est égal à 1.

Seul le contenu doit être égal à 1.

Exemple

$ln\left(\frac{2x-1}{x}\right)=0$

Résous :

$\frac{2x-1}{x}=1$

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES : SINUS, COSINUS, TANGENTE

Ces fonctions peuvent avoir un nombre infini de zéros, qui apparaissent à un intervalle régulier. Vérifie le contenu des fonctions pour les éléments suivants :

Fonction	Zèro quand le contenu est égal à :
$sin\left(\ldots\right)$	$\ldots;-2\pi;-\pi;0;\pi;2\pi;\ldots$
$cos\left(\ldots\right)$	$\ldots;-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2};\ldots$
$tan\left(\ldots\right)$	$\ldots;-2\pi;-\pi;0;\pi;2\pi;\ldots$

FONCTION FACTORISÉE

Si un terme factorisé est présent, on cherche les zéros de chaque terme.

Exemple

$\left(x-3\right)\cdot x^3\cdot e^x=0$

Résous :

$x-3=0$ et $x^3=0$

Ordonnée à l’origine

Définition

L’ordonnée à l’origine $y_0$ d’une fonction est l’intersection de la fonction avec l’axe des $y$ . En ce point la valeur $x$ est zéro : $f\left(0\right)=y_0$ .

Calculer l’ordonnée à l’origine

1.	Remplace $x$ par zéro dans la fonction : $f\left(0\right)=\ldots$
2.	Calcule la valeur de $y_0$ .

Exemple

Ordonnée à l’origine de :

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^3-9x+1}$

Remplace $x$ par zéro :

$f\left(0\right)=\frac{0^2-4}{0^3-9\cdot0+1}=-4$

Point d’intersection avec l’axe des y :

$S_y(0;-4)$