Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Définition

La combinatoire traite du nombre possible de combinaisons d’éléments.

Principes de base

Nombre de combinaisons

Plusieurs éléments doivent être combinés. À chaque étape, il faut se demander parmi combien d’éléments il est possible de choisir.

On obtient le nombre de combinaisons en multipliant les nombres de choix possibles à chaque étape.

$n_1\cdot n_2\cdot n_\ldots\cdot\ldots$ $n_3$	$n_1$ : nombre de choix à la première étape
	$n_2$ : nombre de choix à la deuxième étape
	: nombre de choix aux étapes suivantes

MÉTHODE

1.	A chaque étape, détermine le nombre de possibilités.
2.	Multiplie ces nombres entre eux.

Exemple

Un groupe de 12 élèves veulent créer une équipe de quatre. Il faut désigner un gardien, un défenseur, un attaquant et un remplaçant. Combien y a-t-il d’équipes possibles ?

Choix possibles :

Choix d’un gardien	$12$	On peut choisir parmi 12 élèves.
Choix d’un défenseur	$11$	On peut choisir parmi 11 élèves.
Choix d’un attaquant	$10$	On peut choisir parmi 10 élèves.
Choix d’un remplaçant	$9$	On peut choisir parmi 9 élèves.

Nombre de possibilités :

$12\cdot11\cdot10\cdot9=\underline{11\ 880}$ 

Probabilité d’une combinaison

On calcule la probabilité d’obtenir une certaine combinaison.

Remarque : Chaque évènement doit avoir la même probabilité si on veut appliquer la méthode suivante.

MÉTHODE

1.

Détermine le nombre total de combinaisons possibles.

2.

Détermine le nombre de possibilités d’obtenir la combinaison demandée.

3.

Divise le nombre de possibilités d’obtenir la combinaison demandée par le nombre total de combinaisons possibles :

$p=\frac{nombre\ de\ possibilités\ d'obtenir\ la\ combinaison\ demandée}{Nombre\ total\ de\ combinaisons\ possibles}$

Exemple

Un groupe de 12 élèves veulent créer une équipe de quatre (un gardien, un attaquant, un défenseur et un remplaçant). Quelle est la probabilité que l’équipe soit formée de Jules, Marie, Nicolas et Olivia ?

Nombre total de combinaisons possibles :

$12\cdot11\cdot10\cdot9=11\ 880$ 

Nombre de possibilités de choisir Jules, Marie, Nicolas et Olivia dans l’équipe :

Choix d’un gardien	$4$	On peut choisir parmi Jules, Marie, Nicolas et Olivia
Choix d’un défenseur	$3$	On peut choisir parmi 3 élèves.
Choix d’un attaquant	$2$	On peut choisir parmi 2 élèves.
Choix d’un remplaçant	$1$	Il n’y a plus qu’un élève restant.

Nombre de possibilités :

$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ 

Probabilité que l’équipe soit composée de Jules, Marie, Nicolas et Olivia :

$p=\frac{24}{11\ 880}=0.002=\underline{0.2\%}$ 

Formules de combinatoire

Factorielle

Nombre de possibilités d’ordonner des éléments :

Multiplie tous les nombres naturels jusqu’au nombre d’éléments.

$n!\ =1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\ldots\cdot n$

Exemple – Un groupe de 8 élèves se mettent en ligne.

Nombre d’rdres possibles :

$8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40\ 320$ 

Coefficients binomiaux

On choisit un certain nombre d’éléments (nombre du bas) parmi un nombre total d’éléments (nombre du haut). L’ordre n’importe pas. La formule donne le nombre de choix possibles.

FORMULE	EXEMPLE
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\ \cdot(n-k)!}$	$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot...\ \cdot\ 1\ }{(3\cdot2\cdot1)\cdot(7\cdot6\cdot...\ \cdot1)}$

Exemple – Parmi 8 élèves, on forme un groupe de trois. Combien y a-t-il de possibilités ?

$\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot...\ \cdot1}{(3\cdot2\cdot1)\cdot(5\cdot4\cdot...\cdot1)}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\underline{56}\ groupes$ 

Pour simplifier les calculs, on peut utiliser la formule suivante :

FORMULE	EXEMPLE
$\binom{k}{n}=\binom{k}{n-k}$	$\binom{10}{8}=\binom{10}{2}$

Représentation

Les structures suivantes aident à la représentation visuelle d’une situation. Elles permettent de répertorier toutes les possibilités pour ensuite les compter.

Tableaux

Chaque ligne représente une possibilité de combinaison.

Cette représentation est utile pour les cas avec peu d’éléments.

Exemple

Ordonner les nombres 1, 2, 3 :

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Arbres

On construit cette représentation comme les arbres de probabilités, en commençant par une « racine » et en suivant les branches vers le bas.

Chaque branche représente un choix.
Le nombre de points d’arrivée sur la dernière ligne est le nombre total de possibilités.

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cette représentation est utile pour les cas avec plus d’éléments.