Expériences aléatoires

Définitions

Une expérience est dite « aléatoire » si son résultat dépend du hasard.

ÉVÉNEMENT ÉLÉMENTAIRE $\omega$	Résultat possible de l’expérience aléatoire
UNIVERS $\Omega$	Issues possibles de l’expérience
ÉVÉNEMENT $E$	Sous-ensemble de l’univers
ENSEMBLE PUISSANCE $\mathcal{P}(\Omega)$	Ensemble de tous les événements

On cherche souvent à estimer la probabilité que la réalisation d’une expérience aléatoire soit parmi un certain sous-ensemble de l’univers (obtenir un nombre pair en lançant un dé par exemple). Ce sous-ensemble est appelé « événement ».

L’ensemble $\mathcal{P}(\Omega)\$ contient tous les événements (obtenir un nombre pair, un nombre inférieur à 3 etc.). Il contient aussi des sous-ensembles irréalisables, par exemple l’ensemble vide (qui correspond à n’obtenir aucun numéro en lançant un dé).

Exemple 1 : Lancer d’un dé à 6 faces

Expérience aléatoire	Lancer d’un dé
Événement élémentaire $\omega$	Obtenir un 5	$\omega=5$
Univers $\ \mathrm{\Omega}$	Ensemble des résultats possibles	$\mathrm{\Omega}={1,2,3,4,5,6}$
Événement $E$	Obtenir un nombre pair	$E={2,4,6}$
Ensemble puissance $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})$	Ensemble de tous les événements	$\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})={{},{1},...\ ,{1,2,3,4,5,6}}$

Exemple 2 : Lancer d’une pièce

Expérience aléatoire	Lancer d’une pièce
Événement élémentaire $\omega$	Obtenir « pile » (P)	$\omega=P$
Univers $\ \mathrm{\Omega}$	« Pile » (P) et « face » (F)	$\mathrm{\Omega}={P,\ F}$
Événement $E$	Obtenir « pile »	$E={P}$
Ensemble puissance $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})$	Ensemble de tous les événements	$\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})={{},{P},{F}\ ,{P,\ F}}$

Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire est une fonction qui envoie chaque événement sur un nombre réel. Son ensemble de départ est l’univers et son ensemble d’arrivée est ℝ.

Variable aléatoire discrète

Les variables aléatoires discrètes ont un nombre fini ou dénombrable de valeurs possibles.

Exemples

Nombre de lancers de dés avant d’obtenir un 5 (nombre infini mais dénombrable de valeurs possibles : les entiers naturels 1, 2, 3,…)
Nombre de filles dans une classe (nombre fini de valeurs possibles car il n’y a pas un nombre infini d’êtres humains)

Variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues peuvent prendre des valeurs réelles se situant sur un intervalle plutôt que sur des points définis.

Exemple : Taille d’une personne en cm

Distribution

Une distribution décrit la probabilité des événements élémentaires d’une expérience aléatoire. Dans les cas discrets, on peut la représenter sous forme de tableau.

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Expériences aléatoires

Remarque : La somme des probabilités $p_1,p_2,...p_n.$ est $1$ (c’est-à-dire $100\%$ ).

Mathématiques; Probabilités; 4e Collège; Expériences aléatoires