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Calcul Intégral
Volume d'un solide de révolution
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Si on effectue une rotation d’un graphe autour de l’axe des xxx, on obtient un solide de révolution.
Le volume du solide de révolution peut être calculé avec la formule suivante :
V=π⋅∫ab(f(x))2dxV=\pi\cdot\int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)\right)^2dx}V=π⋅∫ab(f(x))2dx
Remarque : L’aire d’un cercle est donnée par π⋅r2\pi\cdot r^2π⋅r2. Compare cette formule avec celle du solide de révolution.
Calcule le volume du solide de révolution de la fonction f(x)=x2+1f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}f(x)=x2+1 entre les bornes x=1x=1x=1 et x=3x=3x=3.
Utilise la formule :
V=π⋅∫13(x2+1)2dx=π⋅∫13x2+1 dxV=\pi\cdot\int_{1}^{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2dx}=\pi\cdot\int_{1}^{3}{x^2+1\ dx}V=π⋅∫13(x2+1)2dx=π⋅∫13x2+1 dx
Calcule l’intégrale :
=π⋅[13x3+x]13=π⋅(273+3)−π⋅(13+1)=323π‾=\pi\cdot\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^3=\pi\cdot\left(\frac{27}{3}+3\right)-\pi\cdot\left(\frac{1}{3}+1\right)=\underline{\frac{32}{3}\pi}=π⋅[31x3+x]13=π⋅(327+3)−π⋅(31+1)=332π
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Le volume du solide de révolution peut être calculé avec la formule suivante : V=π∙∫_a^b(f(x))^2 dx.
Si on effectue une rotation d’un graphe autour de l’axe des x, on obtient un solide de révolution.
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