Volume d’un solide de révolution

Définition

Si on effectue une rotation d’un graphe autour de l’axe des $$x$$​, on obtient un solide de révolution.

Formule

Le volume du solide de révolution peut être calculé avec la formule suivante :

$$V=\pi\cdot\int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)\right)^2dx}$$​​

Remarque : L’aire d’un cercle est donnée par $$\pi\cdot r^2$$​. Compare cette formule avec celle du solide de révolution.

Exemple

Calcule le volume du solide de révolution de la fonction $$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$$​ entre les bornes $$x=1$$​ et $$x=3$$​.

Utilise la formule :

$$V=\pi\cdot\int_{1}^{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2dx}=\pi\cdot\int_{1}^{3}{x^2+1\ dx}$$​​

Calcule l’intégrale :

$$=\pi\cdot\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^3=\pi\cdot\left(\frac{27}{3}+3\right)-\pi\cdot\left(\frac{1}{3}+1\right)=\underline{\frac{32}{3}\pi}$$​​