Monotonie - Types et tableaux de variations

Définition

Pour déterminer la monotonie on examine la pente d’une fonction. On pose les questions suivantes :

• Pour quels ensembles de nombres le graphe de la fonction croît-il ?
  
• Pour quels ensembles de nombres le graphe de la fonction decroît-t-il ?
  

​

Types de monotonie 

croissante	décroissante
$$f^\prime\left(x\right)\geq0$$​​ Les valeurs de la fonction augmentent toujours.	$$f^\prime\left(x\right)\le0$$​​ Les valeurs de la fonction diminuent toujours.

Vérifier la monotonie d’une fonction

MÉTHODE

Exemple 

Détermine la monotonie de :

$$f\left(x\right)=x^3$$​​

Dérivées :

$$f^\prime\left(x\right)=3x^2\\f''\left(x\right)=6x$$​​

Extrema :

Condition nécessaire : $$f^\prime\left(x\right)=0$$​

$$0=3x^2\\x_E=0$$​​

Condition suffisante : calcule $$f''\left(x_E\right).$$​

$$f''\left(0\right)=0$$​, point col, la pente dans chaque intervalle n’est pas évidente.

Intervalles :

$$Intervalle∶\ (-\infty,\ 0)$$​​

$$Intervalle∶\ (0,\ \infty)$$​​

Pente dans les intervalles :

$$Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3$$​ croissante

$$Intervall: f^\prime\left(1\right)=3$$​ croissante

La fonction est croissante dans les deux intervalles.

La fonction est donc croissante pour toutes les valeurs de $$x.$$​

Exemple – AVEC LOGARITHME

Détermine la monotonie de :

$$f\left(x\right)=2x\cdot ln(x)$$​​

Dérivées :

$$f^\prime\left(x\right)=2ln{\left(x\right)}+2\\f''\left(x\right)=\frac{2}{x}$$​​

Extrema :

Condition nécessaire : $$f^\prime\left(x\right)=0$$​

$$0=2ln{\left(x\right)}+2\\2ln{\left(x\right)}=-2\\ln(x)=-1\\x=e^{-1}\\x_E=\frac{1}{e}$$​​

Condition suffisante : calcule $$f''\left(x_E\right)$$​.

$$f''\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{2}{\frac{1}{e}}=2e>0$$​  minimum.

Calcule la coordonnée $$y$$ :

$$f\left(x_E\right)=2x_E\cdot ln(x_E)\\f\left(x_E\right)=\frac{2}{e}\cdot ln(\frac{1}{e})\\f\left(x_E\right)=\frac{2}{e}\cdot(ln{\left(1\right)}-ln{\left(e\right)})\\f\left(x_E\right)=-\frac{2}{e}$$​​

Intervalles :

$$Intervalle\ 1∶\ (0,\ \frac{1}{e})$$​​

$$Intervalle\ 2∶\ (\ \frac{1}{e},\ \infty)$$​​

Pente dans les intervalles :

$$Intervalle\ 1∶$$​  décroissante

$$Intervalle\ 2∶$$​  croissante

La fonction est décroissante dans le premier intervalle et croissante dans le deuxième.