Monotonie - Types et tableaux de variations

Définition

Pour déterminer la monotonie on examine la pente d’une fonction. On pose les questions suivantes :

Pour quels ensembles de nombres le graphe de la fonction croît-il ?
Pour quels ensembles de nombres le graphe de la fonction decroît-t-il ?

Types de monotonie

croissante

décroissante

$f^\prime\left(x\right)\geq0$

Les valeurs de la fonction augmentent toujours.

$f^\prime\left(x\right)\le0$

Les valeurs de la fonction diminuent toujours.

Mathématiques; Étude de fonction; 4e Collège; Monotonie - Types et tableaux de variations

Mathématiques; Étude de fonction; 4e Collège; Monotonie - Types et tableaux de variations

Vérifier la monotonie d’une fonction

MÉTHODE

1.	Détermine la dérivée première : $f'\left(x\right)$
2.	Calcule les extrema de la fonction.
3.	Sépare le domaine de définition en intervalles. Les limites du domaine de définition et les extrema sont les bornes des intervalles : Exemple avec deux extrema $x_{E1}$ et $x_{E2}$ : $Intervalle∶\ (-\infty,\ \ x_{E1})$ $Intervalle∶\ (x_{E1},\ \ x_{E2})$ $Intervalle∶\ (x_{E1},\ \ +\infty)$
4.	Détermine la pente dans les intervalles en utilisant le type d’extremum (maximum, minimum, point col). Conseil : Si la pente dans un intervalle n'est pas évidente à partir des extrema, choisis une valeur $x$ dans l'intervalle et calcule la dérivée première en $x.$

Exemple

Détermine la monotonie de :

$f\left(x\right)=x^3$ 

Dérivées :

$f^\prime\left(x\right)=3x^2\\f''\left(x\right)=6x$ 

Extrema :

Condition nécessaire : $f^\prime\left(x\right)=0$ 

$0=3x^2\\x_E=0$ 

Condition suffisante : calcule $f''\left(x_E\right).$ 

$f''\left(0\right)=0$ , point col, la pente dans chaque intervalle n’est pas évidente.

Intervalles :

$Intervalle∶\ (-\infty,\ 0)$ 

$Intervalle∶\ (0,\ \infty)$ 

Pente dans les intervalles :

$Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3$  croissante

$Intervall: f^\prime\left(1\right)=3$  croissante

La fonction est croissante dans les deux intervalles.

La fonction est donc croissante pour toutes les valeurs de $x.$ 

Exemple – AVEC LOGARITHME

Détermine la monotonie de :

$f\left(x\right)=2x\cdot ln(x)$ 

Dérivées :

$f^\prime\left(x\right)=2ln{\left(x\right)}+2\\f''\left(x\right)=\frac{2}{x}$

Extrema :

Condition nécessaire : $f^\prime\left(x\right)=0$ 

$0=2ln{\left(x\right)}+2\\2ln{\left(x\right)}=-2\\ln(x)=-1\\x=e^{-1}\\x_E=\frac{1}{e}$ 

Condition suffisante : calcule $f''\left(x_E\right)$ .

$f''\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{2}{\frac{1}{e}}=2e>0$  minimum.

Calcule la coordonnée $y$ :

$f\left(x_E\right)=2x_E\cdot ln(x_E)\\f\left(x_E\right)=\frac{2}{e}\cdot ln(\frac{1}{e})\\f\left(x_E\right)=\frac{2}{e}\cdot(ln{\left(1\right)}-ln{\left(e\right)})\\f\left(x_E\right)=-\frac{2}{e}$

Intervalles :

$Intervalle\ 1∶\ (0,\ \frac{1}{e})$ 

$Intervalle\ 2∶\ (\ \frac{1}{e},\ \infty)$ 

Pente dans les intervalles :

$Intervalle\ 1∶$  décroissante

$Intervalle\ 2∶$  croissante

La fonction est décroissante dans le premier intervalle et croissante dans le deuxième.