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Vecteurs propres et valeurs propres

Définitions

Vecteur propre

Un vecteur propre d’une matrice $A$ est un vecteur non-nul dont la direction ne change pas quand on le multiplie avec la matrice $A$ .

Valeur propre

La multiplication de la matrice $A$ avec un vecteur propre donne un multiple (scalaire) du vecteur. Le facteur scalaire est appelé « valeur propre ».

Formule

$A\cdot\overrightarrow v=\ \lambda\cdot \overrightarrow v$

La multiplication du vecteur propre $\overrightarrow v$ par $A$ correspond au produit avec la valeur propre $\lambda.$ Le vecteur est allongé ou raccourci.

Propriétés

$\lambda$ valeur propre de $A \Longrightarrow \frac{1}{\lambda}$ valeur propre
$\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot\lambda_n=det(A)$ .
Les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres différentes sont orthogonaux entre eux.

Applications

Les vecteurs et valeurs propres ont des applications dans de nombreux domaines de la physique, de l’ingénierie mécanique et électrique, de l’informatique, etc.

Exemple : Les systèmes d’oscillation ont souvent une fréquence de résonance. Celle-ci est décrite par les valeurs propres.

Déterminer les valeurs propres

METHODE

Soustrais la valeur propre inconnue $\lambda$ à tous les coefficients de la diagonale de $A$ :

$A-\lambda\cdot E_n$

Construis l’expression pour le déterminant de la matrice obtenue. Cette formule contient l’inconnue $\lambda$ .

Pose l’équation $det(A-\lambda\cdot E_n)=0$ et résous en $\lambda$ pour déterminer les valeurs propres $\lambda_i$ .

Déterminer les vecteurs propres

Pour chaque valeur propre $\lambda_i$ , utilise la méthode suivante pour calculer les vecteurs propres correspondant.

METHODE

1.	Remplace par la valeur propre dans l’équation $(A-\ \lambda\cdot E_n)\cdot \overrightarrow v= \overrightarrow 0$ . On obtient un système d’équations.
2.	Résous les équations en fonction d’une composante $\overrightarrow {v_i}$ .
3.	Choisis une valeur pour la composante $v_i$ : typiquement $v_i=1$ .
4.	Détermine les valeurs des autres composantes $v_j$ en remplaçant $v_i$ par la valeur choisie.

Remarque : La méthode peut être adaptée s’il existe des vecteurs propres linéairement indépendants pour la même valeur propre. Dans ce cas, il faut choisir une valeur pour chaque nouvelle composante indépendante.

Exemple – Calcule les valeurs et vecteurs propres correspondants de la matrice $A=\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)$

Construis la matrice $A-\lambda\cdot E_2$ :

$\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-\lambda\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)$ 

Construis l’expression pour le déterminant :

$det\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(2-\lambda)\cdot(-4-\lambda)-7\cdot 1=\lambda^2+2\lambda-15$ 

Pose le système d’équations :

$\lambda^2+2\lambda-15=0\\(\lambda+5)(\lambda-3)=0$ 

Valeurs propres :

$\lambda_1=-5,\lambda_2=3$ 

Déterminer les vecteurs propres : remplace $\lambda$ par $\lambda_1\$ dans l’équation $(A-\ \lambda\cdot E_2)\cdot \overrightarrow v = \overrightarrow o$ :

$\left(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-(-5)\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}7&1\\7&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$ 

Multiplie le vecteur par la matrice :

$\left(\begin{matrix}{7v}_1+v_2\\{7v}_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$ 

Résous chaque équation pour obtenir les composantes de $\overrightarrow v$ :

$v_2=-7v_1$ 

Résous pour $v_1=1$ . On obtient $v_2=-7v_1=-7$ .

Le vecteur propre correspondant à $\lambda_1$ est :

$\overrightarrow v = \left(\begin{matrix}1\\-7\\\end{matrix}\right)$ 

De manière analogue, on obtient pour $\lambda_2$ le vecteur propre :

$\overrightarrow v = \left(\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right)$ 

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Durée:

Unité 1