Vecteurs propres et valeurs propres

Définitions

Vecteur propre

Un vecteur propre d’une matrice $$A$$​ est un vecteur non-nul dont la direction ne change pas quand on le multiplie avec la matrice $$A$$​. 

Valeur propre

La multiplication de la matrice $$A$$​ avec un vecteur propre donne un multiple (scalaire) du vecteur. Le facteur scalaire est appelé « valeur propre ». 

Formule

$$A\cdot\overrightarrow v=\ \lambda\cdot \overrightarrow v$$​​

La multiplication du vecteur propre $$\overrightarrow v$$​ par $$A$$​ correspond au produit avec la valeur propre $$\lambda.$$​ Le vecteur est allongé ou raccourci.

Propriétés

•  $$\lambda$$​ valeur propre de $$A \Longrightarrow \frac{1}{\lambda}$$​ valeur propre 
  
• $$\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot\lambda_n=det(A)$$​.
  
• Les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres différentes sont orthogonaux entre eux.
  

​

Applications

Les vecteurs et valeurs propres ont des applications dans de nombreux domaines de la physique, de l’ingénierie mécanique et électrique, de l’informatique, etc.

Exemple : Les systèmes d’oscillation ont souvent une fréquence de résonance. Celle-ci est décrite par les valeurs propres. 

Déterminer les valeurs propres

METHODE

​

Déterminer les vecteurs propres

Pour chaque valeur propre $$\lambda_i$$​, utilise la méthode suivante pour calculer les vecteurs propres correspondant.

METHODE

Remarque : La méthode peut être adaptée s’il existe des vecteurs propres linéairement indépendants pour la même valeur propre. Dans ce cas, il faut choisir une valeur pour chaque nouvelle composante indépendante.

Exemple – Calcule les valeurs et vecteurs propres correspondants de la matrice $$A=\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)$$

Construis la matrice $$A-\lambda\cdot E_2$$​ : 

$$\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-\lambda\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)$$​​

Construis l’expression pour le déterminant :

$$det\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(2-\lambda)\cdot(-4-\lambda)-7\cdot 1=\lambda^2+2\lambda-15$$​​

Pose le système d’équations :

$$\lambda^2+2\lambda-15=0\\(\lambda+5)(\lambda-3)=0$$​​

Valeurs propres :

$$\lambda_1=-5,\lambda_2=3$$​​

Déterminer les vecteurs propres : remplace $$\lambda$$​ par $$\lambda_1\$$​ dans l’équation $$(A-\ \lambda\cdot E_2)\cdot \overrightarrow v = \overrightarrow o$$​ :

$$\left(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-(-5)\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

$$\left(\begin{matrix}7&1\\7&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplie le vecteur par la matrice :

$$\left(\begin{matrix}{7v}_1+v_2\\{7v}_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

Résous chaque équation pour obtenir les composantes de $$\overrightarrow v$$ :

$$v_2=-7v_1$$​​

Résous pour $$v_1=1$$​. On obtient $$v_2=-7v_1=-7$$​.

Le vecteur propre correspondant à $$\lambda_1$$​ est : 

$$\overrightarrow v = \left(\begin{matrix}1\\-7\\\end{matrix}\right)$$​​

De manière analogue, on obtient pour $$\lambda_2$$​ le vecteur propre :

$$\overrightarrow v = \left(\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right)$$​​