Positions relatives entre deux cercles

Positions relatives de deux cercles

$$M_1, M_2$$​ : centres des cercles

$$r_1,\ r_2$$​ : rayons des cercles

$$S_1,\ S_2$$​ : points d’intersection

$$d$$​ : distance entre les centres des cercles

Trois cas

Déterminer la position relative de deux cercles

Variante 1 : Avec une équation

MÉTHODE

Variante 2 : Avec la distance

MÉTHODE

Point de contact de deux cercles

Déterminer le point $$T$$​ où les deux cercles se touchent. 

Formule : 

$$T=M_1+r_1\cdot \frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|}$$​​

Remarque :  Si les deux cercles ont le même rayon, le point de contact se trouve au milieu des centres des cercles.

Exemple

Trouve le point de contact des cercles $$\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=1$$​ et $$\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=4$$​.

Solution :

Le centre de la première sphère est $$M_1(4\ ;\ 3)$$​ et son rayon est $$r_1=\sqrt1=1$$​.

Le centre de la deuxième sphère est $$M_2(1\ ;\ 3)$$​.

$$\overrightarrow{M_1M_2}=(1\ ;\ 3)-(4\ ;\ 3)=(-3\ ;\ 0)\\|\overrightarrow{M_1M_2}|=\sqrt{{-3}^2+0^2}=3\\\frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|}=\frac{1}{3}(-3\ ;\ 0)=(-1\ ;\ 0)$$​​

Point de contact $$=M_1+r_1\cdot\frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|}=(4\ ;\ 3)+1\cdot(-1\ ;\ 0)=(3\ ;\ 3).$$​